若0≤x≤π,求函数y=sin2x+sinx-cosx的最大值和最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 06:30:20
若0≤x≤π,求函数y=sin2x+sinx-cosx的最大值和最小值
若0≤x≤π,求函数y=sin2x+sinx-cosx的最大值和最小值
若0≤x≤π,求函数y=sin2x+sinx-cosx的最大值和最小值
由于0≤x≤π,故-pi/4≤x-pi/4≤3*pi/4.
则-(根号2)/2≤sinx(x-pi/4)≤（根号2)/2
y=sin2x+sinx-cosx
=1-(sinx-cosx)^2+(sinx-cosx)
=-[(sinx-cosx)-1/2]^2+5/4
=-[根号2倍的sin(x-pi/4)-1/2]^2+5/4
所以当sinx（x-pi/4)=-(根号2)/2时,y最小=-1,
当sinx(x-pi/4)≤1/2时,y最大=5/4.
y=sin2x+sinx-cosx
=1-(sinx-cosx)^2+(sinx-cosx)
=5/4-(sinx-cosx-1/2)^2
=5/4-[根号2倍的sin(x-pi/4)-1/2]^2
0≤x≤π ==> -1/2≤根号2倍的sin(x-pi/4)≤根号2
==>1/4≤5/4-[根号2倍的sin(x-pi/4)-1/2]^2≤5/4
全部展开
y=sin2x+sinx-cosx
=1-(sinx-cosx)^2+(sinx-cosx)
=5/4-(sinx-cosx-1/2)^2
=5/4-[根号2倍的sin(x-pi/4)-1/2]^2
0≤x≤π ==> -1/2≤根号2倍的sin(x-pi/4)≤根号2
==>1/4≤5/4-[根号2倍的sin(x-pi/4)-1/2]^2≤5/4
即 1/4≤y≤5/4
所以，函数y=sin2x+sinx-cosx的最大值为5/4，最小值1/4。
收起
令sinx-cosx=t
则sin2x=2sinxcosx=1-t^2
y=1-t^2+t=-(t-1/2)^2+5/4
x∈[0,π]
t=√2sin(x-π/4)∈[-√2/2,1]
所以ymax=5/4,ymin=(1-√2)/2
高中的？