求证A是n阶正定矩阵,则存在 唯一的正定矩阵B,使A=B^2 我会存在性,这里求证唯一性

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 13:59:20
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如果存在另外的正定矩阵C,满足A=C^2,下面证明B=C.
B和C都是正定矩阵,所以都可以完美对角化,都有对应特征值和特征向量.
因为B^2=A,所以B特征值的平方对应A的特征值,相应的特征向量对应A的相应特征向量.
因为C^2=A,所以C特征值的平方对应A的特征值,相应的特征向量对应A的相应特征向量.
因为B和C都正定,所以B特征值实际上都等于C特征值（都是A特征值的正平方根）,且特征向量集也完全相等.
设A某特征值lamda对应特征向量v,则Bv=sqrt(lamda)v,Cv=sqrt(lamda)v,sqrt是平方根的意思.
BCv=B*sqrt(lamda)v=sqrt(lamda)*Bv=sqrt(lamda)*sqrt(lamda)v=lamda*v.
CBv=C*sqrt(lamda)v=sqrt(lamda)*Cv=sqrt(lamda)*sqrt(lamda)v=lamda*v.
所以(BC-CB)v=0,这个v可以取所有A的特征向量.
因为A正定,所以所有特征向量集v的线性最大无关数是满空间的,所以实际上(BC-CB)v=0就意味着(BC-CB)u=0（其中u是随便取的）,这样的话,只可能BC-CB=0了.
因为BC=CB,所以(B-C)(B+C)=B^2+BC-CB-C^2=0,
因为B和C正定,故B+C也正定,意味着不可逆且满秩,所以只能B-C=0了.

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