已知数列{an }的前n项和为Sn,且a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n€N*).求数列{an}的通项公式

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 10:20:32
已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n€N*).求数列{an}的通项公式已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1+2a2+3a3+…

已知数列{an }的前n项和为Sn,且a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n€N*).求数列{an}的通项公式
已知数列{an }的前n项和为Sn,且a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n€N*).
求数列{an}的通项公式

已知数列{an }的前n项和为Sn,且a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n€N*).求数列{an}的通项公式
a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)sn+2n(n€N*)
(1) 先求a1:
n=1,
∴ a1=2
(2)利用递推式:
∵ a1+2a2+3a3+……+(n-1)a(n-1)+nan=(n-1)Sn+2n ①
∴ a1+2a2+3a3+……+(n-1)a(n-1) =(n-2)S(n-1)+2(n-1) ②
①-②:
nan =(n-1)Sn-(n-2)S(n-1)+2n
即 n[S(n)-S(n-1)]=(n-1)Sn-(n-2)S(n-1)+2
∴ S(n)=2S(n-1)+2
∴ S(n)+2=2[S(n-1)+2]
∴ {Sn+2}是以S1+2=2+2=4为首项,2为公比的等比数列,
∴ Sn+2=4*2^n=2^(n+1)
∴ Sn=-2+2^(n+1)
∴ n≥2时,an=Sn-S(n-1)=2^(n+1)-2^(n)=2^n
n=1同样满足上式
∴ an=2^n

已知a1+2a2+3a3+……+nan=(n-1)Sn+2n......①
则 a1+2a2+3a3+……+nan+(n+1)a(n+1)=nS(n+1)+2(n+1)....②
②-①得:
(n+1)a(n+1)=nS(n+1)-nSn+Sn+2........③
又 a(n+1)=S(n+1)-Sn
∴③可变型为:

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已知a1+2a2+3a3+……+nan=(n-1)Sn+2n......①
则 a1+2a2+3a3+……+nan+(n+1)a(n+1)=nS(n+1)+2(n+1)....②
②-①得:
(n+1)a(n+1)=nS(n+1)-nSn+Sn+2........③
又 a(n+1)=S(n+1)-Sn
∴③可变型为:
(n+1)(S(n+1)-Sn)=nS(n+1)-nSn+Sn+2
化简得:
S(n+1)=2Sn+2
等号两边同时加2, 得:
S(n+1)+2=2(Sn+2)
( S(n+1)+2)/(Sn+2)=2
故:{Sn+2}是以S1+2=2+2=4为首项,2为公比的等比数列
Sn+2=4*2^(n-1)
an=Sn-S(n-1)=2^(n+1)-2^n=2^n

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因为 a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n (1)
所以 a1+2a2+3a3+…+(n+1) a(n+1)=nS(n+1)+2(n+1) (2)
a1+a2+a3+...+an=Sn (3)
由(1)+(3)得到
2a1+3a...

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因为 a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n (1)
所以 a1+2a2+3a3+…+(n+1) a(n+1)=nS(n+1)+2(n+1) (2)
a1+a2+a3+...+an=Sn (3)
由(1)+(3)得到
2a1+3a2+4a3+…+(n+1)an= nSn+2n (4)
由(2)-(4)得到
-a1-a2-a3- ...-an +(n+1)a(n+1)=n[S(n+1)-Sn] +2 (5)
有因为 S(n+1)-Sn =a(n+1)
所以(5)式变成
-a1-a2-a3- ...-an +(n+1)a(n+1)=na(n+1) +2
a(n+1)= a1+a2+a3+...+an +2 (6)
根据(1)得到,当n=1时,a1=2
根据(6) 当n=2时,a2=2+2=4
a3=2+4+2=8
然后可以通过归纳法得到 an=2^n
这个就很容易证明了。

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已知数列{an}的前n项和为sn,且满足sn=n 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=lgn 求通项公式 已知数列an的前n项和为Sn,且An=3^n+2n,则Sn等于 1.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2^n,求通项an;2.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=n^2+3n,求通项an; 已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0,n∈N*) 已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=n2的n次方,则Sn= 已知{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=4求证:数列{an}是等比数列 已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=(1/2)的n次方+a,若an为等比数列,则a=多少? 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(1/2)^n+a,若{an}为等比数列,则a=? 已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=1,Sn=nan-2n(n-1) ,设数列{1/an*a(n+1)}的前n项和为Tn,求Tn 高中数学 已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0,n∈N*) ①求证{an}是等比数列高中数学已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0,n∈N*) ①求证{an}是等比数列 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-n(n∈N*),求数列{an}的通项公式. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3a(n)+2(n属于N*),求通项公式.括号为下标 已知数列an的前n项和为sn,且sn+an=n^2+3n+5/2,证明数列{an-n}是等比数列 已知数列{an}的前n项和Sn,且a1=a(a为非零常数),当n>=2时,an=2Sn^2/2已知数列{an}的前n项和Sn,且a1=a(a为非零常数),当n>=2时,an=2Sn^2/2Sn-11)求证:数列{1/Sn}是等差数列2)设bn=Sn/an,数列bn的前n项和为Tn.已 已知数列 an的前 n项和为Sn=n-5an-85 ,且n属于N* ,(1 已知数列an是等差数列,且a1不等于0,Sn为这个数列的前n项和,求limnan/Sn.limSn+Sn-1/Sn+Sn-1 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-1(n属于正整数),求数列{an}的通项公式an