一个微积分的问题图中是有y=x^2、y=0和x=1围成的封闭图形,试求该图形的周长和面积.不是吧- -||我记得算弧长的公式是=∫((φ(t)'^2+(ψ(t)'^2)^(1/2)dt的啊，最后算到是ln(5^(1/2)+2 二楼的，我是
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 22:59:09
一个微积分的问题图中是有y=x^2、y=0和x=1围成的封闭图形,试求该图形的周长和面积.不是吧- -||我记得算弧长的公式是=∫((φ(t)'^2+(ψ(t)'^2)^(1/2)dt的啊，最后算到是ln(5^(1/2)+2 二楼的，我是
一个微积分的问题
图中是有y=x^2、y=0和x=1围成的封闭图形,试求该图形的周长和面积.
不是吧- -||我记得算弧长的公式是=∫((φ(t)'^2+(ψ(t)'^2)^(1/2)dt的啊，最后算到是ln(5^(1/2)+2
二楼的，我是这样看的啊，φ(t)'^2=x'^2=1，ψ(t)'^2=(x^2)'^2=4x^2，没问题啊
然后就是：
∫(1+4x^2)^(1/2)dx
设2x=tant，则
∫(1+tant^2)^(1/2)dt
=∫(sect^2)^(1/2)dt
=∫sect dt
=ln|sect+tant|
∴∫(1+4x^2)^(1/2)dx
=ln|(1+4x^2)^(1/2)+2x|
=ln(5^(1/2)+2)-ln1
=ln(5^(1/2)+2)
给个过程吧- -||
一个微积分的问题图中是有y=x^2、y=0和x=1围成的封闭图形,试求该图形的周长和面积.不是吧- -||我记得算弧长的公式是=∫((φ(t)'^2+(ψ(t)'^2)^(1/2)dt的啊，最后算到是ln(5^(1/2)+2 二楼的，我是
1楼的公式是对的.只不过周长的算错了
抛开(1/2)单独算
∫sect^3dt
=∫sect dtant
=secttant-∫tant^2sect dt
=secttant-∫(sect^2-1)sectdt
=secttant-∫sect^3+∫sectdt
所以2∫sect^3dt=secttant+ln(sect+tant)
∫sect^3dt=(1/2)[secttant+ln(sect+tant)]
原式=(1/4)[secttant+ln(sect+tant)] t(0->arctan2)
sec(arctan2)=√5 (在三角形里面斜边√5 两直角边1,2)
带入=(1/4)[2√5+ln(√5+2)-0]
=√5/2+(1/4)ln(√5+2)
所以原式=√5/2+(1/4)ln(√5+2)+2
ps:ln(√5+2)=ln[1/(√5-2)]=-ln(√5-2)
所以也=√5/2-(1/4)ln(√5-2)+2
S=∫x^2dx =1/3x^3
积分限时从0到1 即S=1/3
周长D=D1+2,其中D1是弧的长度
D1=∫根号下(1+(x^2)')dx=1/3(1+2x)^(3/2)
积分限是0到1则D1=根号3
所以周长D=2+根号3
该图形的面积=∫(0,1)x²dx （∫(0,1)表示从0到1积分）
=(x³/3)|(0,1)
=1/3
该图形的周长=1+1+∫(0,1)√(1+(y')²)dx
=2+∫(0,1)√(1+4x²)dx
...
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该图形的面积=∫(0,1)x²dx （∫(0,1)表示从0到1积分）
=(x³/3)|(0,1)
=1/3
该图形的周长=1+1+∫(0,1)√(1+(y')²)dx
=2+∫(0,1)√(1+4x²)dx
=2+[x√(1+4x²)+ln|2x+√(1+4x²)|/2]|(0,1) (应用不定积分公式)
=2+√5+ln(2+√5)/2
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