双曲线,已知F1,F2分别是双曲线x2/a2-y2/b2=1的左右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,点AB和双曲线的一个顶点构成锐角三角形,求离心率的范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 11:51:05
双曲线,已知F1,F2分别是双曲线x2/a2-y2/b2=1的左右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,点AB和双曲线的一个顶点构成锐角三角形,求离心率的范围
双曲线,
已知F1,F2分别是双曲线x2/a2-y2/b2=1的左右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,点AB和双曲线的一个顶点构成锐角三角形,求离心率的范围
双曲线,已知F1,F2分别是双曲线x2/a2-y2/b2=1的左右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,点AB和双曲线的一个顶点构成锐角三角形,求离心率的范围
由焦半径公式可知 AF1=-(ex0+a)=(c^2-a^2)/a
点AB显然是和双曲线的右顶点构成锐角三角形,
因为如果是左顶点的话AF1/MF1=(c^2-a^2)/a(c-a)=(c+a)/a>1 (M,N分别为左右顶点)
所以 ∠AMF1>45°,所以∠AMB>90°,所以是钝角三角形
所以肯定和右顶点构成锐角三角形
那么由 0
x^2/a^2-y^2/b^2=1
x=c时，y^2=(1-c^2/a^2)b^2
y=± √(1-e^2)
|AB|=2√(1-e^2)
顶点M1(a,0)或M2(-a,0)
cosAM1B=[(AM1)^2+(BM1)^2-(AB)^2]/2AM1BM1
(AM1)^2+(BM1)^2-(AB)^2=2(1-e^2)-(...
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x^2/a^2-y^2/b^2=1
x=c时，y^2=(1-c^2/a^2)b^2
y=± √(1-e^2)
|AB|=2√(1-e^2)
顶点M1(a,0)或M2(-a,0)
cosAM1B=[(AM1)^2+(BM1)^2-(AB)^2]/2AM1BM1
(AM1)^2+(BM1)^2-(AB)^2=2(1-e^2)-(c-a)^2>0时，AM1B锐角
2(1-e^2)-a^2(1-e)^2>0
2-2e^2-a^2(1-2e+e^2)>0
-(2-a)-2a^2e+(2+a^2)e^2<0
a^2/(2+a^2)-√[4a^4-4(2+a^2)(2-a)]/[2(2+a^2)] < e < a^2/(2+a^2)+√[4a^4-4(2+a^2)(2-a)]/[2(2+a^2)]
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