P为正三角形ABC内一点,PA=根号3,PB=3,PC=2倍的根号3,求三角形ABC的边长.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/07/03 10:10:40
P为正三角形ABC内一点,PA=根号3,PB=3,PC=2倍的根号3,求三角形ABC的边长.
P为正三角形ABC内一点,PA=根号3,PB=3,PC=2倍的根号3,求三角形ABC的边长.
P为正三角形ABC内一点,PA=根号3,PB=3,PC=2倍的根号3,求三角形ABC的边长.
以A为中心作△PAK使得△APB的AB边位置与AC重合,
AP=AK=2 ∠PAK=60°
即 △APK为正三角形
∴∠AKP=60°
△PKC三条边长分别为PK=根号3,KC=3,PC=2倍的根号3的三角形
(2根号3)^2=3^2+(根号3)^2
即 PC^2=KC^2+PK^2 且PC=2PK
∴ ∠PKC=90° ∠CPK=60°
∴ ∠CPA=60°+60°=120°
故 ∠APB=∠AKC=60°+90°=150°
∴ ∠CPB=360°-∠CPA - ∠APB =360°-120°-150°=90°
∴ BC=根号【PC^2+PB^2】=根号【(2根号3)^2+3^2】=根号21
即 三角形ABC的边长的三边长=3x根号21
把△APC以A点顺时针旋转60°,AC与AB边重合,形成新三角形AP'B,连接PP',PA=P'A,∠PAP'=60°,则△APP'为正三角形,PP'=√3,P'B=2√3,PB=3,(PP')²+PB²=(P'B)²,△PP'B为直角△,∠PP‘B=90°,∠APB=∠PP‘B+∠APP'=90°+60°=150°,由余弦定理得:AB²=PA²+...
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把△APC以A点顺时针旋转60°,AC与AB边重合,形成新三角形AP'B,连接PP',PA=P'A,∠PAP'=60°,则△APP'为正三角形,PP'=√3,P'B=2√3,PB=3,(PP')²+PB²=(P'B)²,△PP'B为直角△,∠PP‘B=90°,∠APB=∠PP‘B+∠APP'=90°+60°=150°,由余弦定理得:AB²=PA²+PB²-2PAPBcos150°=3+9+2√3*3*√3/2=21,AB=√21,三角形ABC的边长=3√21。
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