曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ,点A的极坐标（2,0）,曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周,求C扫过的面积

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/25 02:29:19

曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ,点A的极坐标（2,0）,曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周,求C扫过的面积曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ,点A的极坐标（2,0）,曲线C在它所在的平面内绕A

曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ,点A的极坐标（2,0）,曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周,求C扫过的面积
曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ,点A的极坐标（2,0）,曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周,求C扫过的面积

曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ,点A的极坐标（2,0）,曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周,求C扫过的面积
如图所示,心形线为极坐标方程的图像.它绕A在平面内旋转一周,所成的图像必然是一个圆.圆心在(2,0),半径则为和A距离最远的点之间的距离（蓝线所示）,我们只要求出这个距离d的最大值,面积就出来了.
d=√(2^2+ρ^2-2*2*ρcosθ)=√(ρ^2+4-4ρcosθ)=√[(1+cosθ)^2+4-4(1+cosθ)cosθ]=√[-3(cosθ+1/3)^2+16/3]≤4√3/3
当且仅当cosθ+1/3=0,即θ=π-arccos(1/3)或π+arccos(1/3)时取“=”.
此时求得最大半径r=max{d}=4√3/3
故,曲线C在平面内绕A旋转一周扫过的面积S=πr^2=π*(4√3/3)^2=16π/3