a3+b3+c3≥3abc
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 06:34:56
a3+b3+c3≥3abc
a3+b3+c3≥3abc
a3+b3+c3≥3abc
成立 先两边同乘2 用到 a2+b2≥2ab a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)即 2a3+2b3+2c3≥6abc 分解 (a3+b3)+(b3+c3)+(a3+c3)=(a+b)(a2-ab+b2)+(b+C)(b2-bc+c2)+(a+C)(a2-ac+c2)≥(a+b)ab+(b+C)bc+(a+c)ac=a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2=a(b2+c2)+b(C2+a2)+c(a2+b2)≥6abc
证明：
a^3+b^3+c^3
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3
=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b)
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c)+3abc
=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3c(a+b)-3ab]+3abc
全部展开
证明：
a^3+b^3+c^3
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3
=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b)
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c)+3abc
=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3c(a+b)-3ab]+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ac-3bc-3ab)+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)+3abc
=0.5(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)+3abc
=0.5(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]+3abc≥3abc
∵0.5(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0
∴a^3+b^3+c^3≥3abc
前提a+b+c>=0或abc正数
a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc）是公式
收起
根据均值不等式中：算术平均数>=几何平均数
(a^3+b^3+c^3)/3>=(a^3b^3c^3)^(1/3)
a^3+b^3+c^3>=3abc
a3+b3+c3-3abc
=a³+3a²b+3ab²+b³+c³-3a²b-3ab²-3abc
=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a...
全部展开
a3+b3+c3-3abc
=a³+3a²b+3ab²+b³+c³-3a²b-3ab²-3abc
=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-bc+c²-3ab0
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)
=(a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]/2
收起