如何证明abc
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 00:08:58
如何证明abc
如何证明abc<=（(a+b+c)/3）3次方
如何证明abc
需加上条件,a,b,c都为正数.
可用以下方式证明：x,y,z都为正数
x^3+y^3+z^3-3xyz
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-x^2y-x^2z-y^2x-y^2z-z^2x-z^2y-3xyz
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-x^2y-y^2z-xyz -x^2z-y^2x-xyz -z^2x-z^2y-xyz
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)(xy+yz+xz)
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)
=(x+y+z)[ (x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2]/2 >=0,当且仅当x=y=z时取等号.
因此有：x^3+y^3+z^3>=3xyz
令a=x^3,b=y^3,c=z^3,即得证.
方法很多。它等价于 x³+y³+z³≥3xyz，其中x，y，z是正实数
(1)用基本不等式。
x³+y³+z³+xyz=(x³+y³)+(z³+xyz)≥2√(x³y³)+2√(xyz^4)≥4√[√(x³y³)√(xyz^4)]=4xyz
所...
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方法很多。它等价于 x³+y³+z³≥3xyz，其中x，y，z是正实数
(1)用基本不等式。
x³+y³+z³+xyz=(x³+y³)+(z³+xyz)≥2√(x³y³)+2√(xyz^4)≥4√[√(x³y³)√(xyz^4)]=4xyz
所以 x³+y³+z³≥3xyz
(2)可利用不等式x³+y³≥x²y+xy²,
y³+z³≥y²z+yz²,
z³+x³≥z²x+zx²,
三式相加，再利用基本不等式x²+y²≥2xy得证。
(3)可进行因式分解。
x³+y³+z³-3xyz=(x+y)³+z³-3x²y-3xy²-3xyz=(x+y+z)[(x+y)²-(x+y)z+z²]-3xy(x+y+z)
=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)=(1/2)(x+y+z)[(x-y)²+(y-x)²+(z-x)²]≥0
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