数学中的e这个数字是怎样来的?

数学中的e这个数字是怎样来的?
数学中的e这个数字是怎样来的?

数学中的e这个数字是怎样来的?
数学中的
e

e
≈
2.71828
18284
59045
23536
02874
71352
66249
77572
47093
69995
95749
66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274
现在人们可以将它精确到小数点后
2000
位,


这里的
e
是一个数的代表符号,
而我们要说的,
便是
e
的故事.这倒叫人有点好奇了,
要能
说成一本书,
这个数应该大有来头才是,
至少应该很有名吧?但是搜索枯肠,
大部分人能想
到的重要数字,
除了众人皆知的
0
及
1
外,
大概就只有和圆有关的
π
了,
了不起再加上虚数
单位的
i=
√
-1
.这个
e
究竟是何方神圣呢?



在高等数学里,大家都学到过对数（
logarithm
[
ˈ
l
ɔ
:g
əˌ
r
ɪ
ð
ə
m
]
）的观念,也用过对数表.教科书
里的对数表,是以
10
为底的,叫做常用对数（
common logarithm
）
.课本里还提到,有一种
以无理数
e=2.71828
……为底数的对数,称为自然对数（
natural
logarithm
）
,有一个著名的
极限数列或函数
f(n)=(1+1/n)^n
当
n→∞
时
=e
的结果就是
e
,这里的
e
,正是我们故事的主
角.不知这样子说,是否引起你更大的疑惑呢?在十进位制系统里,用这样奇怪的数为底,
难道会比以
10
为底更「自然」吗?更令人好奇的是,长得这麼奇怪的数,会有什麼故事可
说呢?



这就要从古早时候说起了.
至少在微积分发明之前半个世纪,
就有人提到这个数,
所以虽然
它在微积分里常常出现,却不是随著微积分诞生的.那麼是在怎样的状况下导致它出现的
呢?一个很可能的解释是,这个数和计算利息有关.


我们都知道复利计息是怎麼回事,就是利息也可以并进本金再生利息.但是本利和的多寡,
要看计息周期而定,
以一年来说,可以一年只计息一次,
也可以每半年计息一次,
或者一季
一次,一月一次,甚至一天一次；当然计息周期愈短,本利和就会愈高.有人因此而好奇,
如果计息周期无限制地缩短,比如说每分钟计息一次,甚至每秒,
或者每一瞬间（理论上来
说）
,会发生什麼状况?


本利和会无限制地加大吗?答案是不会,
它的值会稳定下来,
趋近於一极限值,
而
e
这个数
就现身在该极限值当中（当然那时候还没给这个数取名字叫
e
）
.所以用现在的数学语言来
说,
e
可以定义成一个极限值,但是在那时候,根本还没有极限的观念,因此
e
的值应该是
观察出来的,而不是用严谨的证明得到的.


包罗万象的
e

大家恐怕已经在想,
光是计算利息,
应该不至於能专门为一个奇怪的数值起个名字吧?当然
不,利息只是极小的一部分.令人惊讶的是,
这个与计算复利关系密切的数,居然和数学领
域不同分支中的许多问题都有关联.
在讨论
e
的源起时,
除了复利计算以外,
事实上还有许
多其他的可能.
问题虽然都不一样,
答案却都殊途同归地指向
e
这个数.
比如其中一个有名
的问题,就是求双曲线
y=1
/x
底下的面积.双曲线和计算复利会有什麼关系,不管横看、竖
看、坐著想、
躺著想,
都想不出一个所以然对不对?可是这个面积算出来,却和
e
有很密切
的关联.



e
是一个奇妙有趣的无理数,
它取瑞士数学家欧拉
Euler
的英文字头.

欧拉首先发现此数并
称之为自然数.它还有个较鲜见的名字叫纳皮尔
Napier
常数,假如你曾在数学课上被对数
苦恼过,
一定想知道谁是
「始作俑者」吧?没错,就是这位苏格兰数学家约翰
·
纳皮尔
（
John
Napier
）先生引进了对数.另外,他还发明了第一个对数表.大家也许没有听说过?这很正
常,
我也是上网搜索
e
的资料的时候才认识他的.
重要的是要下一个问题.
你知道纳皮尔花
了多少时间来建构整个对数表吗?请注意这是发生在十六世纪末、
十七世纪初的事情,
别说
电脑和计算机了,
根本是什麼计算工具也没有,
所有的计算,
只能利用纸笔一项一项慢慢地
算,
而又还不能利用对数来化乘除为加减,
好简化计算.
因此纳皮尔整整花了二十年的时间
建立他的对数表,
简直是匪夷所思吧!
试著想像一下二十年之间,
每天都在重复做同类型的
繁琐计算,
这种乏味的日子绝不是一般人能忍受的.
但纳皮尔熬过来了,
而他的辛苦也得到
了报偿
--
对数（尤其是以
e
为底的自然对数
ln
）受到了热切的欢迎,许多欧洲甚至中国的科
学家都迅速采用,
连纳皮尔也得到了来自世界各地的赞誉.
最早使用对数的人当中,
包括了
大名鼎鼎的天文学家刻卜勒（
Kepler
）
,他利用对数,简化了行星轨道的繁复计算.



e
的「影响力」其实还不限於数学领域.大自然中太阳花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都
呈现螺线的形状,而螺线的方程式,是要用
e
来定义的（
r=e
α
θ
）
.建构音阶也要用到
e
,而
如果把一条链子两端固定,松松垂下,它呈现的形状若用数学式子表示的话,也需要用到
e
（
y=ach
（
x/a
）悬链线）
.这些与计算利率或者双曲线面积八竿子打不著的问题,居然统统
和
e
有关,多么奇妙的
e
啊?


其实我们每个人的成长过程中都学到过不少数学知识,
但是在很多人心目中,
数学似乎是门
无趣甚至可怕的科目.
尤其到了大学的微积分,
到处都是定义、
定理、
公式,
令人望之生畏.
我们会害怕一个学科的原因之一,
是有距离感,
那些微积分里的东西,
好像不知是从哪儿冒
出来的,
对它毫无感觉,
也觉得和我毫无关系.
如果我们知道这些东西
（比如说这个常数
e
）
是怎麼演变、由谁发明的,而发明之时还发生了些什麼事,发明者又是什麼样的人等等,这
种距离感就应该会减少甚至消失,数学就不再是如此可怕了.

希望能帮到你。
这就要从古早时候说起了。至少在微积分发明之前半个世纪，就有人提到这个数，所以虽然它在微积分里常常出现，却不是随著微积分诞生的。那么是在怎样的状况下导致它出现的呢？一个很可能的解释是，这个数和计算利息有关。
我们都知道复利计息是怎么回事，就是利息也可以并进本金再生利息。但是本利和的多寡，要看计息周期而定，以一年来说，可以一年只计息一次，也可以每半年计息一次，或者一季...

全部展开

希望能帮到你。
这就要从古早时候说起了。至少在微积分发明之前半个世纪，就有人提到这个数，所以虽然它在微积分里常常出现，却不是随著微积分诞生的。那么是在怎样的状况下导致它出现的呢？一个很可能的解释是，这个数和计算利息有关。
我们都知道复利计息是怎么回事，就是利息也可以并进本金再生利息。但是本利和的多寡，要看计息周期而定，以一年来说，可以一年只计息一次，也可以每半年计息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；当然计息周期愈短，本利和就会愈高。有人因此而好奇，如果计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间（理论上来说），会发生什么状况？本利和会无限制地加大吗？答案是不会，它的值会稳定下来，趋近於一极限值，而e这个数就现身在该极限值当中（当然那时候还没给这个数取名字叫e）。所以用现在的数学语言来说，e可以定义成一个极限值，但是在那时候，根本还没有极限的观念，因此e的值应该是观察出来的，而不是用严谨的证明得到的。
包罗万象的e
读者恐怕已经在想，光是计算利息，应该不至於能讲一整本书吧？当然不，利息只是极小的一部分。令人惊讶的是，这个与计算复利关系密切的数，居然和数学领域不同分支中的许多问题都有关联。在讨论e的源起时，除了复利计算以外，事实上还有许多其他的可能。问题虽然都不一样，答案却都殊途同归地指向e这个数。比如其中一个有名的问题，就是求双曲线y=1/x底下的面积。双曲线和计算复利会有什么关系，不管横看、竖看、坐著想、躺著想，都想不出一个所以然对不对？可是这个面积算出来，却和e有很密切的关联。我才举了一个例子而已，这本书里提到得更多。
如果整本书光是在讲数学，还说成是说故事，就未免太不好意思了。事实上是，作者在探讨数学的同时，穿插了许多有趣的相关故事。比如说你知道第一个对数表是谁发明的吗？是纳皮尔（John
Napier）。没有听说过？这很正常，我也是读到这本书才认识他的。重要的是要下一个问题。你知道纳皮尔花了多少时间来建构整个对数表吗？请注意这是发生在十六世纪末、十七世纪初的事情，别说电脑和计算机了，根本是什么计算工具也没有，所有的计算，只能利用纸笔一项一项慢慢地算，而又还不能利用对数来化乘除为加减，好简化计算。因此纳皮尔整整花了二十年的时间建立他的对数表，简直是匪夷所思吧！试著想像一下二十年之间，每天都在重复做同类型的繁琐计算，这种乏味的日子绝不是一般人能忍受的。但纳皮尔熬过来了，而他的辛苦也得到了报偿——对数受到了热切的欢迎，许多欧洲甚至中国的科学家都迅速采用，连纳皮尔也得到了来自世界各地的赞誉。最早使用对数的人当中，包括了大名鼎鼎的天文学家刻卜勒，他利用对数，简化了行星轨道的繁复计算。
在《毛起来说e》中，还有许多我们在一般数学课本里读不到的有趣事实。比如第一本微积分教科书是谁写的呢？（假如你曾受微积分课程之苦，也会想知道谁是「始作俑者」吧？」）是罗必达先生。对啦，就是罗必达法则（L'Hospital's
Rule）的那位罗必达。但是罗必达法则反倒是约翰．伯努利先发现的。不过这无关乎剽窃的问题，他们之间是有协议的。
说到伯努利可就有故事说了，这个家族实在不得了，别的家族出一位天才就可以偷笑了，而他们家族的天才是用「量产」形容。伯努利们前前后后在数学领域中活跃了一百年，他们的诸多成就（不仅止於数学领域），就算随便列一列，也有一本书这么厚。不过这个家族另外擅长的一件事就不太敢恭维了，那就是吵架。自家人吵不够，也跟外面的人吵（可说是「表里如一」）。连爸爸与儿子合得一个大奖，爸爸还非常不满意，觉得应该由自己独得，居然气得把儿子赶出家门；和现代的许多「孝子」们比起来，这位爸爸真该感到惭愧。
e的「影响力」其实还不限於数学领域。大自然中太阳花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现螺线的形状，而螺线的方程式，是要用e来定义的。建构音阶也要用到e，而如果把一条链子两端固定，松松垂下，它呈现的形状若用数学式子表示的话，也需要用到e。这些与计算利率或者双曲线面积八竿子打不著的问题，居然统统和e有关，岂不奇妙？

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