在半径为R的圆O上,取点A 以A为圆心,r为半径做一圆,再在圆A上取点B 过B点作圆A的切线 交圆O于P,Q两点,求证,AP与AQ的积为定值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 19:20:02
在半径为R的圆O上,取点A 以A为圆心,r为半径做一圆,再在圆A上取点B 过B点作圆A的切线 交圆O于P,Q两点,求证,AP与AQ的积为定值
在半径为R的圆O上,取点A 以A为圆心,r为半径做一圆,再在圆A上取点B 过B点作圆A的切线 交圆O于P,Q两点,求证,AP与AQ的积为定值
在半径为R的圆O上,取点A 以A为圆心,r为半径做一圆,再在圆A上取点B 过B点作圆A的切线 交圆O于P,Q两点,求证,AP与AQ的积为定值
连 AB,
∵ PQ 与圆A 相切于点B
∴ AB ⊥ PQ 且 r = AB
在 Rt△PAB 中,
AP = AB / sin∠P = r / sin∠P -------------------------------------- ①
在 Rt△QAB 中,
AQ = AB / sin∠Q = r / sin∠Q -------------------------------------- ②
① ② 相乘,得：AP × AQ = （r 的平方）/ （sin∠P × sin∠Q）
下面验证（r 的平方）/ （sin∠P × sin∠Q） 是否为定值.
连 AO并延长AO 交圆O于点C,连CQ.
则 AC 为 圆O 的直径 ,故∠AQC = 90°
在Rt△AQC 中 sin∠C = AQ / AC
而 ∠C = ∠ P AC = 2R
∴ sin∠P = AQ / (2R)
∴ AQ = (2R) × sin∠P ---------------------------------------- ③
由 ② ③ 得：r / sin∠Q = (2R) × sin∠P
∴ r / (sin∠P × sin∠Q) = 2R
上式两边同乘 r ,得：
（r的平方） / (sin∠P × sin∠Q) = 2Rr
这就了验证（r 的平方）/ （sin∠P × sin∠Q） 是定值.
即：AP × AQ 的积为定值,定值为 2Rr
如果您掌握了这个方法,那么恭喜,您已经学到了 高中 著名的 “正弦定理”.
连结AB，连结A0并延长交圆O于C，连结CQ 因为BP是圆A切线，所以角ABP=90° 因为AC是圆O直径，所以角AQC=90°，角AQC=角ABP 因为角C和角APQ都在圆O中对应AQ弦，并不在AQ同侧，故角C+角APQ=180° 又因为角APQ+角APB=180°，所以角C=角APB 所以三角形AQC相似于三角形ABP，故AQ:AC=AB:AP，AP*AQ=AB*AC 所以AP与AQ的积为圆O直径与圆A半径的积，为定值