有一个轴截面为正三角形的圆锥形容器,内放如一个半径为R的内切球,在这个容器内注入水,现把球从容器中取出,水不损耗,且球取出后水面与圆锥底面平行形成一圆台体,问容器中水的高度为多
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 18:11:43
有一个轴截面为正三角形的圆锥形容器,内放如一个半径为R的内切球,在这个容器内注入水,现把球从容器中取出,水不损耗,且球取出后水面与圆锥底面平行形成一圆台体,问容器中水的高度为多
有一个轴截面为正三角形的圆锥形容器,内放如一个半径为R的内切球,在这个容器内注入水,现把球从容器中取出,水不损耗,且球取出后水面与圆锥底面平行形成一圆台体,问容器中水的高度为多少?
圆锥是正放的,不是倒的
有一个轴截面为正三角形的圆锥形容器,内放如一个半径为R的内切球,在这个容器内注入水,现把球从容器中取出,水不损耗,且球取出后水面与圆锥底面平行形成一圆台体,问容器中水的高度为多
你画一个图：轴截面的上顶点为P,圆锥下底直径为AB,引圆锥的高PH,取球心O,它在PH上,且PO=2 OH,OH=R.
球的体积为V球＝4/3·πR³,高PH＝3R,∴底半径HB＝√3R,
圆锥的体积为V圆锥＝1/3· πHB²·PH＝1/3×3R²×3R＝3πR³,
所以余下的圆台的体积为V圆台＝V圆锥－V球＝2/3·πR³,先把它倒过来,让尖头在下面,当做一个装着水的小圆锥.则,这个圆锥的体积也是2/3·πR³,设小高为k,小底面圆的半径为r.于是有V小圆锥＝1/3×πr²×k≡2/3·πR³,________(1)
然后我们套用圆台体积公式,V圆台＝1/3×π×h×﹛﹙√3R﹚²＋r²＋r×√3R﹜≡2/3·πR³,_____(2).
再利用h＝PH－k＝3R－k____________(3).
就可以很容易把圆台的高h求出来了.你可以做的,我就不再赘述了.看懂了吗?
由内切球的半径为R知圆锥形容器的高为3R，底面直径为d=3R÷√3/2=2√3R，故半径r=√3R，所以圆锥形容器的容积为V=πrrR=3πRRR，而内切球的体积为4πRRR/3，设内切球的体积与高为3x的正四面体的体积相等，即4πRRR/3=3πxxx，则xxx=4RRR/9=12RRR/27，令12的算术立方根为a，则x=aR/3，3x=aR，所以容器中水的高度为h=3R-3x=3R-aR=(...
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由内切球的半径为R知圆锥形容器的高为3R，底面直径为d=3R÷√3/2=2√3R，故半径r=√3R，所以圆锥形容器的容积为V=πrrR=3πRRR，而内切球的体积为4πRRR/3，设内切球的体积与高为3x的正四面体的体积相等，即4πRRR/3=3πxxx，则xxx=4RRR/9=12RRR/27，令12的算术立方根为a，则x=aR/3，3x=aR，所以容器中水的高度为h=3R-3x=3R-aR=(3-a)R。查表得a≈2.29，所以容器中水的高度为h=0.71R。
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