设实数a b c满足a平方+b平方+c平方=1 证明|a-b|,|b-c|,|c-a|中必有一个《2分之根号2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 14:25:52
设实数a b c满足a平方+b平方+c平方=1 证明|a-b|,|b-c|,|c-a|中必有一个《2分之根号2
设实数a b c满足a平方+b平方+c平方=1 证明|a-b|,|b-c|,|c-a|中必有一个《2分之根号2
设实数a b c满足a平方+b平方+c平方=1 证明|a-b|,|b-c|,|c-a|中必有一个《2分之根号2
不妨设a>=b>=c.令m=a-b,n=b-c.
则a=c+m+n,b=c+n.代入原方程,有
(c+m+n)^2+(c+n)^2+c^2=1.
3c^2+2(m+2n)c+(m^2+2mn+2n^2)=1
(c+(m+2n)/3)^2+(m^2+2mn+2n^2)/3-(m+2n)^2/9=1/3
所以必有(m^2+2mn+2n^2)/3-(m+2n)^2/9
假设|a-b|，|b-c|，|c-a|都大于等于2分之根号2
|a-b|>=2分之根号2
（a-b)^2>=1/2
a^2+b^2-2ab>=1/2（1）
同理
a^2+c^2-2ac>=1/2（2）
c^2+b^2-2cb>=1/2（3）
三式相加
2（a^2+b^2+c^2）-2(ab+bc+ca)>=3/2
2（a^2+...
全部展开
假设|a-b|，|b-c|，|c-a|都大于等于2分之根号2
|a-b|>=2分之根号2
（a-b)^2>=1/2
a^2+b^2-2ab>=1/2（1）
同理
a^2+c^2-2ac>=1/2（2）
c^2+b^2-2cb>=1/2（3）
三式相加
2（a^2+b^2+c^2）-2(ab+bc+ca)>=3/2
2（a^2+b^2+c^2）-2(ab+bc+ca)=3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2>=2(a^2+b^2+c^2)=3
矛盾
所以
|a-b|，|b-c|，|c-a|不能同时《2分之根号2
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