等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=AD,角ABC=60°,E是BC中点,将三角形ABE沿AE折起,使二面角B-AE-C成直二面角连接BC,BD,F是CD得中点,P是棱BC的中点.求证:AE垂直BD;平面PEF垂直平面AECD
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 08:56:00
等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=AD,角ABC=60°,E是BC中点,将三角形ABE沿AE折起,使二面角B-AE-C成直二面角连接BC,BD,F是CD得中点,P是棱BC的中点.求证:AE垂直BD;平面PEF垂直平面AECD
等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=AD,角ABC=60°,E是BC中点,将三角形ABE沿AE折起,使二面角B-AE-C成直二面角
连接BC,BD,F是CD得中点,P是棱BC的中点.求证:AE垂直BD;平面PEF垂直平面AECD
等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=AD,角ABC=60°,E是BC中点,将三角形ABE沿AE折起,使二面角B-AE-C成直二面角连接BC,BD,F是CD得中点,P是棱BC的中点.求证:AE垂直BD;平面PEF垂直平面AECD
由平面几何看出:ABE是等边三角形,AECD是菱形.取AE中点M,CM与EF相交于N.(1)易知BM垂直AF,DM垂直AF,故AF垂直平面BMD,AF垂直BD(2)易知CEMF是平行四边形,故N为MC中点,进而PN//BM,又BM垂直AECD,故PN垂直AECD,再由PN属于PEF推知命题成立
有图没有
如图l,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E是BC的中点.如图2,将△ABE沿AE折起,使二面角B-AE-C成直二面角,连接BC,BD,P是棱BC的中点.
(1)在图2中求证:AE⊥BD;’
(2)EP是否平行平面BAD?并说明理由.
(3)求直线EB与平面BCD所成的角的余弦值.
考点:直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系...
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如图l,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E是BC的中点.如图2,将△ABE沿AE折起,使二面角B-AE-C成直二面角,连接BC,BD,P是棱BC的中点.
(1)在图2中求证:AE⊥BD;’
(2)EP是否平行平面BAD?并说明理由.
(3)求直线EB与平面BCD所成的角的余弦值.
考点:直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的判定.
专题:综合题.
分析:(1)连接BD,取AE中点M,连接BM,DM,根据题意可得BM⊥AE,DM⊥AE,从而可知AE⊥平面BDM,故可得AE⊥BD
(2)EP与平面BAD不平行.取BE的中点F,连接PF,可证PF∥平面BAD,若EP∥平面BAD,所以平面BEC∥平面BAD,这与平面BAD∩平面BEC=B矛盾
(3)以M为坐标原点,分别以ME,MD,MB为x,y,z,设AE=2,则E(1,0,0),B(0,0,3 ),D(0, 3 ,0),C(2,3 ,0),故
EB=(−1,0,3),
DC=(2,0,0),
BD =(0, 3 ,− 3 ),可求平面BCD的法向量,从而可求直线EB与平面BCD所成的角的余弦值.
(1)证明:连接BD,取AE中点M,连接BM,DM.
∵在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E是BC的中点
∴△ABE与△ADE都是等边三角形
∵M是AE的中点,
∴BM⊥AE,DM⊥AE
∵BM∩DM=M,BM,DM⊂平面BDM
∴AE⊥平面BDM
∵BD⊂平面BDM
∴AE⊥BD;
(2)EP与平面BAD不平行.
取BE的中点F,连接PF
∵P是棱BC的中点
∴PF∥CE
∵AD∥CE
∴PF∥AD
∵PF⊄平面BAD,AD⊂平面BAD
∴PF∥平面BAD
若EP∥平面BAD
∵FP∩EP=P
∴平面BEC∥平面BAD
这与平面BAD∩平面BEC=B矛盾
∴EP与平面BAD不平行.
转载于http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/9cc3afca-8169-4006-b82c-772d88d9baad
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