如何求这个Lebesgue积分f(x)=0,如果x是有理数1,如果x是无理数求[0,1]上的狄义赫利积分∫f(x)dx=?to 1L:

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 08:19:35
如何求这个Lebesgue积分f(x)=0,如果x是有理数1,如果x是无理数求[0,1]上的狄义赫利积分∫f(x)dx=?to1L:如何求这个Lebesgue积分f(x)=0,如果x是有理数1,如果x

如何求这个Lebesgue积分f(x)=0,如果x是有理数1,如果x是无理数求[0,1]上的狄义赫利积分∫f(x)dx=?to 1L:
如何求这个Lebesgue积分
f(x)=
0,如果x是有理数
1,如果x是无理数
求[0,1]上的狄义赫利积分∫f(x)dx=?
to 1L:

如何求这个Lebesgue积分f(x)=0,如果x是有理数1,如果x是无理数求[0,1]上的狄义赫利积分∫f(x)dx=?to 1L:
将[0,1]分为两个可测集,[0,1]上的有理数集和[0,1]上的无理数集
这个Lebesgue积分则可以分为上述两个集合上的积分的和
[0,1]上的有理数集的Lebesgue积分值为=∫0dx=0*m([0,1]上的有理数集)=0
[0,1]上的无理数集的Lebesgue积分值为=∫1dx=1*m([0,1]上的无理数集)=1
所以这个函数在[0,1]上的Lebesgue积分值=0+1=1

这个问题不用死算,要知道在[0,1]上无理数的数量要比有理数数量多,且前者相对后者是更高阶的无穷大,所以函数值为一的所有区间加起来区间长度可看为零.故最后的积分值也是零.