(高等代数)求个保长度映射但不是线性映射的例子?有没有映射是保长度而不是线性的?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 22:51:39
(高等代数)求个保长度映射但不是线性映射的例子?有没有映射是保长度而不是线性的?
(高等代数)求个保长度映射但不是线性映射的例子?
有没有映射是保长度而不是线性的?
(高等代数)求个保长度映射但不是线性映射的例子?有没有映射是保长度而不是线性的?
既然是高等代数中的问题, 那么问题严格表述大概是这样的:
V是一个实(或复)内积空间, 其中两点的距离定义为d(x,y) = ||x-y|| = √(x-y,x-y).
问是否存在不是仿射变换的映射f: V→V, 满足d(f(x),f(y)) = d(x,y)对任意x, y∈V.
如果在复数域上讨论, 那么有明显的例子: 复共轭映射, 即将一个向量映为其复共轭的映射.
因为对于复数数乘, 这个映射是共轭线性而不是线性的.
如果是在实数域上讨论, 那么答案是不存在, 证明如下:
首先通过复合适当的平移, 不妨设f(0) = 0. 只要证明f是线性变换.
对任意x∈V-{0}与λ > 0, 设y = λx.
有||f(x)|| = d(f(x),0) = d(f(x),f(0)) = d(x,0) = ||x|| > 0.
同理||f(y)|| = d(y,0) = λd(x,0) = λ·||x||.
而||f(y)-f(x)|| = d(f(y),f(x)) = d(y,x) = ||y-x|| = |λ-1|·||x||.
于是(||f(y)||-||f(x)||)² = ||f(y)-f(x)||², 展开得||f(x)||·||f(y)|| = (f(x),f(y)).
由Cauchy-Schwarz不等式的取等条件, 存在t, 使f(y) = t·f(x) (f(x) ≠ 0).
代回得|t| = λ, |t-1| = |λ-1|, 解得t = λ. 即有f(λx) = λf(x), 对任意λ > 0 (x = 0时显然).
对任意x,y∈V, x ≠ y, 设z = (x+y)/2.
有||f(x)-f(z)|| = d(f(x),f(z)) = d(x,z) = ||(x-y)/2|| = ||x-y||/2 > 0.
同理||f(z)-f(y)|| = ||x-y||/2.
而||f(x)-f(y)|| = d(f(x),f(y)) = d(x,y) = ||x-y||.
于是||f(x)-f(z)||+||f(z)-f(y)|| = ||f(x)-f(y)|| = ||(f(x)-f(z))+(f(z)-f(y))||.
平方并展开得||f(x)-f(z)||·||f(z)-f(y)|| = (f(x)-f(z),f(z)-f(y)).
由Cauchy-Schwarz不等式的取等条件, 存在t, 使f(z)-f(y) = t·(f(x)-f(z)) (f(x)-f(z) ≠ 0).
代回得|t| = 1, 又f(x) ≠ f(y), 只有t = 1, 2f(z) = f(x)+f(y).
由前面已证f(2z) = 2f(z), 即有f(x+y) = f(x)+f(y).
最后在上面结论中取y = -x, 得f(-x) = f(0)-f(x) = -f(x).
进而有f(-λx) = -f(λx) = -λf(x)对任意λ > 0.
综上, f保持加法和数乘, 为线性变换.
复合平移之后f为仿射变换.
作为推论, 欧式空间中保持任意曲线长度的映射也只有仿射变换.
因为两点间长度最短的曲线一定变为长度最短的曲线.