ab都是正数 a的a次方乘b的b次方 和 a的b次方乘以b的a次方比较大小

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 21:46:02
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ab都是正数 a的a次方乘b的b次方 和 a的b次方乘以b的a次方比较大小

ab都是正数 a的a次方乘b的b次方 和 a的b次方乘以b的a次方比较大小
(a^a*b^b)/(a^b*b^a)
=(a/b)^(a-b)
若a=b,则(a/b)^(a-b)=1,则a^a*b^b=a^b*b^a
若a>b,则a/b>1,a-b>0,则(a/b)^(a-b)>1,则a^a*b^b>a^b*b^a
若a1,则a^a*b^b>a^b*b^a
综上,若a=b,则a^a*b^b=a^b*b^a,否则a^a*b^b>a^b*b^a
即a^a*b^b≥a^b*b^a

当a当a=b时,a的a次方乘b的b次方 等于 a的b次方乘以b的a次方
当a>b时,a的a次方乘b的b次方 小于 a的b次方乘以b的a次方

两式作商a^a·b^b/a^b·b^a=a^(a-b)·b^(b-a)
当a=b时,两式相等
当a>b时,原式=a^(a-b)/b^(a-b)>1 所以a^a·b^b>a^b·b^a
当a<b时,原式=b^(b-a)/a^(b-a)>1 所以a^a·b^b>a^b·b^a
综上所述,a^a·b^b≥a^b·b^a

直接比较即可
左式/右式=a^(a-b)b^(b-a)=(a/b)^(a-b)
a≥b时,
显然
a^a*b^b≥a^b*b^a
当a(a/b)^(a-b)=(b/a)^(b-a)
显然
a^a*b^b≥a^b*b^a
综上
左式≥右式

前者>=后者
令a=b=1 得到相等
令a=1 b=2 得到 前者大于后者
综上 前者大于等于后者