大一的高数题,定积分,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 03:32:22
大一的高数题,定积分,
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大一的高数题,定积分,
（1）代入公式：d/dx[∫[a,β(x)]f(t)dt]=f[β(x)]β'(x):
d/dx[∫[0,x^2]√(1+t^2]dt=2x√(1+x^4)
(2) 利用罗比达法则和变限积分求导公式：
原式=lim[x-->∞][(arctan x)^2]/[x/√(1+x^2)]
=lim[x-->∞][(arctan x)^2√(1+x^2)]/x
=l...
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（1）代入公式：d/dx[∫[a,β(x)]f(t)dt]=f[β(x)]β'(x):
d/dx[∫[0,x^2]√(1+t^2]dt=2x√(1+x^4)
(2) 利用罗比达法则和变限积分求导公式：
原式=lim[x-->∞][(arctan x)^2]/[x/√(1+x^2)]
=lim[x-->∞][(arctan x)^2√(1+x^2)]/x
=lim[x-->∞][(arctan x)^2√(1+1/x^2)]
=π^2/4
(3)用分部积分法：
原式=∫【0，2π】x^2dsinx=x^2sinx|[0,2π]-2∫[0,2π]xsinxdx
=2xcosx|[0,2π]-2∫[0,2π]cosxdx
=4π-2sinx|[0,2π]
=4π
(4)利用定积分的性质，分成两段上的定积分的和
原式=-∫[1/e,1]lnxdx+∫[1,e]lnxdx
=-xlnx|[1/e,1]+∫[1/e,1]dx+xlnx|[1,e]-∫[1,e]dx
=-1/e+1-1/e+e-e+1
=2-2/e
(5)做代换 √(5-4x)=t 5-4x=t^2 x=(5-t^2)/4 dx=-tdt/2 积分限变为：3，1
原式=-1/8∫[3,1](5-t^2)dt
=1/8(t^3/3-5t)|[3,1]
=1/8(-14/3+6)
=1/6
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