求助,解高数题.谢谢!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 14:06:16
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11.求y'-2y=x的通解
先求齐次方程y'-2y=0的通解.
y'=2y,分离变量得dy/y=2dx,积分之得lny=2x+lnC；即y=e^(2x+lnC)=Ce^(2x)；
将积分常数换成x的函数u,(参数变易法)得y=ue^(2x).(1)
将(1)的两边对x取导数得dy/dx=(du/dx)e^(2x)+2ue^(2x).(2)
将(1)和(2)一起代入原方程得(du/dx)e^(2x)+2ue^(2x)-2ue^(2x)=x
化简得(du/dx)e^(2x)=x,分离变量得du=xe^(-2x)dx；
积分之得u=∫xe^(-2x)dx=-(1/2)∫xd[e^(-2x)]=-(1/2)[xe^(-2x)-∫e^(-2x)dx]
=-(1/2)[xe^(-2x)+(1/2)∫e^(-2x)d(-2x)
=-(1/2)[xe^(-2x)+(1/2)e^(-2x)]+C
=-(1/2)(x+1/2)e^(-2x)+C
代入(1)式得y=[-(1/2)(x+1/2)e^(-2x)+C]e^(2x)=-(1/2)(x+1/2)+Ce^(2x).
故原方程的通解为y=Ce^(2x)-(1/2)x-1/4.
6.求定积分【0,1】∫e^√(x+1)dx
令√(x+1)=u,则x+1=u²,x=u²-1,dx=2udu；x=0时u=1；x=1时u=√2；代入原式得：
原式=【1,√2】2∫ue^udu=【1,√2】2∫ud(e^u)=【1,√2】2[ue^u-∫e^udu]
=2[ue^u-e^u]【1,√2】=2(u-1)e^u【1,√2】=2(√2-1)e^√2
5.xy+x²+y²=3在(1,1)处的切线和法线方程
设F(x,y)=xy+x²+y²-3=0,则
dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=-(y+2x)/(x+2y),故y'(1,1)=-1
于是得(1,1)处的切线方程为y=-(x-1)+1=-x+2.
(1,1)处的法线方程为y=(x-1)+1=x.
6.求广义积分【1,+∞】∫dx/√(1+x²)
令x=tanu,则dx=sec²udu；x=1时u=π/4；x→+∞时u→π/2,故
原式=【π/4,π/2】∫secudu=ln(secu+tanu)【π/4,π/2】
=u→π/2lim[ln(secu+tanu)-ln(√2+1)
=u→π/2lim[ln(1/cosu+sinu/cosu)]-ln(1+√2)
=u→π/2lim[ln(1+sinu)/cosu]-ln(1+√2)
=+∞
9.求定积分【0,π】∫[(xsinx)/cos²x]dx
原式=【0,π】∫xsecxtanxdx=【0,π】∫xd(secx)
=【0,π】[xsecx-∫secxdx]
=【0,π】[xsecx-ln(secx+tanx)]
=【0,π/2】[xsecx-ln(secx+tanx)]+【π/2,π】[xsecx-ln∣(secx+tanx)∣]
=x→π/2lim[xsecx-ln(secx+tanx)]-π-{x→π/2lim[xsecx-ln(secx+tanx)]}
=-π