不等式证明x>0时,(x+1)ln(x+1/x)>1需要详细过程谢谢sorry,题目应该是(x+1)ln(1+1/x)>1

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/23 01:55:28

不等式证明x>0时,(x+1)ln(x+1/x)>1需要详细过程谢谢sorry,题目应该是(x+1)ln(1+1/x)>1不等式证明x>0时,(x+1)ln(x+1/x)>1需要详细过程谢谢sorry

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不等式证明x>0时,(x+1)ln(x+1/x)>1
需要详细过程谢谢
sorry,题目应该是(x+1)ln(1+1/x)>1

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思路：
x>0时,(x+1)ln(x+1/x)>1可以变形：
(x+1)ln(x+1/x)>1
ln(x+1/x)＞1/(x+1)
ln[(x+1)/x]＞1/(x+1)
-ln[(x+1)/x]＜-1/(x+1)
ln{[(x+1)/x]^-1}=ln[x/(x+1)]=ln[1-1/(x+1)]＜-1/(x+1)
ln[1-1/(x+1)]+1/(x+1)＜0
∴只要证明x＞0时ln[1-1/(x+1)]+1/(x+1)＜0恒成立就可以了
令t=1/(x+1)
则ln[1-1/(x+1)]+1/(x+1)=ln(1-t)+t
∵x＞0
∴0＜t＜1
∴只要证明0＜t＜1时ln(1-t)+t＜0恒成立就可以了
设函数f(t)=ln(1-t)+t,0＜t＜1
求导
f'(t)=-1/(1-t)+1=t/(t-1)
∵0＜t＜1
∴f'(t)＜0
∴f(t)在(0,1)上是减函数
∴f(t)最大值小于f(0)
∴f(t)在(0,1)上所有值都小于f(0)
即f(t)＜f(0)
ln(1-t)+t＜ln(1-0)+0
∴ln(1-t)+t＜0,（0＜t＜1）
∴ln[1-1/(x+1)]+1/(x+1)＜0,（x＞0）
∴x>0时,(x+1)ln(x+1/x)>1

因为x+1/x的最小值为2，
所以（x+1)ln(x+1/x）的最小值为ln4＞1，
所以(x+1)ln(x+1/x)>1

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