平面几何,三角形的重心,求证三点共线,高难三角形abc中,a1、b1、c1是bc、ac、ba上的任意点,Ga、Gb、Gc分别是三角形ab1c1、a1bc1、a1b1c的重心,G1为三角形a1b1c1的重心,G2为三角形GaGbGc的重心,G为三角形

平面几何,三角形的重心,求证三点共线,高难三角形abc中,a1、b1、c1是bc、ac、ba上的任意点,Ga、Gb、Gc分别是三角形ab1c1、a1bc1、a1b1c的重心,G1为三角形a1b1c1的重心,G2为三角形GaGbGc的重心,G为三角形
平面几何,三角形的重心,求证三点共线,高难
三角形abc中,a1、b1、c1是bc、ac、ba上的任意点,Ga、Gb、Gc分别是三角形ab1c1、a1bc1、a1b1c的重心,G1为三角形a1b1c1的重心,G2为三角形GaGbGc的重心,G为三角形abc重心.求证：G1、G、G2三点共线.要求：不要架系不要向量,用纯平几做.我手机上发的,图自己画吧,答案详尽再加50分,
那个图真的太复杂了，我没法在电脑上画出来。然后只要说清楚辅助线的作法就可以了，回答就不用加图了，

平面几何,三角形的重心,求证三点共线,高难三角形abc中,a1、b1、c1是bc、ac、ba上的任意点,Ga、Gb、Gc分别是三角形ab1c1、a1bc1、a1b1c的重心,G1为三角形a1b1c1的重心,G2为三角形GaGbGc的重心,G为三角形
条件中的a1,b1,c1分别在bc,ac,ba上这个条件为非必要条件,事实上a1,b1,c1为空间任意3点结论均成立.具体证明我会稍后放出.

当三角形为等边三角形时，G、G1、G2 共一点

证明三点共线的方法就那么几种，如果用纯平几方法来做的话，就只有证明GG1=GG2+G2G1
到最后一样的要假设三边的长度，然后来换算出GG1，GG2，G1G2的表达式，然后再来判断。
还不如直接建坐标系，用向量来做来的简单。

我想想。

利用三角形的重心的定义，性质，不难证明：G1、G、G2三点共线。
好方法（ 容易 ）证明：G点在G1、G2两点的连线上。所以G1、G、G2三点共线。
在G1、G2两点的连线上：（几何长度）GG1：（几何长度）GG2= s2：s1
s1为三角形a1b1c1的 面职 ，
s2为三角形GaGbG...

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利用三角形的重心的定义，性质，不难证明：G1、G、G2三点共线。
好方法（ 容易 ）证明：G点在G1、G2两点的连线上。所以G1、G、G2三点共线。
在G1、G2两点的连线上：（几何长度）GG1：（几何长度）GG2= s2：s1
s1为三角形a1b1c1的 面职 ，
s2为三角形GaGbGc的 面职 。

（详尽太长了）

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当三角形为等边三角形时，G、G1、G2 共一点

其实这个题目我感觉不单是平面几何问题，如果用物理的思维来结构的话，会比较简单：
质点就是有质量但不存在体积与形状的点。在物体的大小和形状不起作用，或者所起的作用并不显著而可以忽略不计时，我们把近似地把该物体看作是一个具有质量大小和形状可以忽略不计的理想物体，称为质点（mass point，particle）
重心：一个物体的各部分都要受到重力的作用。从效果上看，我们可以认为各部分受...

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其实这个题目我感觉不单是平面几何问题，如果用物理的思维来结构的话，会比较简单：
质点就是有质量但不存在体积与形状的点。在物体的大小和形状不起作用，或者所起的作用并不显著而可以忽略不计时，我们把近似地把该物体看作是一个具有质量大小和形状可以忽略不计的理想物体，称为质点（mass point，particle）
重心：一个物体的各部分都要受到重力的作用。从效果上看，我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心。
Ga、Gb、Gc是三角形ab1c1、a1bc1、a1b1c的重心；
因此Ga、Gb、Gc是可分别代表上述三个三角形的质点，由GaGbGc构成的三角新的重心G2，必然就是三角形ab1c1、a1bc1、a1b1c组合图形的重心。
G1是三角形a1b1c1的重心，也是代表三角形a1b1c1的质点；
因为三角形a1b1c1与三角形ab1c1、a1bc1、a1b1c构成三角形abc，所以G2与G1两个质点构成的直线的重心必然在G1与G2的连接线上。
而G1与G2构成的直线的重心，通过质点，实际就是三角新abc的重心G
因此G、G1、G2共线

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三角形的重心在平面几何中被定义为“三角形三条中线的交点”，如果不作任何准备工作，直接从这个定义出发去证明，那是有点麻烦的。所以我们从这个定义导出一个引理及一个推论，然后从这个引理及其推论出发开始我们的证明。
引理：三角形的三个顶点到任一直线的有向距离之和等于其重心到该直线的有向距离的3倍。
推论：三角形的三个顶点到一直线的有向距离之和为零，当且仅当该直线经过三角形的重心。
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三角形的重心在平面几何中被定义为“三角形三条中线的交点”，如果不作任何准备工作，直接从这个定义出发去证明，那是有点麻烦的。所以我们从这个定义导出一个引理及一个推论，然后从这个引理及其推论出发开始我们的证明。
引理：三角形的三个顶点到任一直线的有向距离之和等于其重心到该直线的有向距离的3倍。
推论：三角形的三个顶点到一直线的有向距离之和为零，当且仅当该直线经过三角形的重心。
引理的证明请自己根据上述重心的定义完成。引理及其推论的应用如下：

证明：连结过G1和G的直线line,
记a, b, c到line的有向距离为A, B, C
记a1,b1,c1到line的有向距离为A1,B1,C1
记Ga,Gb,Gc到line的有向距离为Da,Db,Dc
由引理知: 3Da=A+B1+C1, 3Db=A1+B+C1, 3Dc=A1+B1+C
由推论知：A+B+C=A1+B1+C1=0，
故Da+Db+Bc=(A+B+C)/3+2(A1+B1+C1)/3=0, 从而又从推论逆知直线line经过三角形GaGbGc的重心G2. 即G1、G2和G三点共线。

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