用数学归纳法证明 6+2*9+3*12+…+n(3n+3)=n(n+1)(n+2)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/22 22:57:26
用数学归纳法证明 6+2*9+3*12+…+n(3n+3)=n(n+1)(n+2)
用数学归纳法证明 6+2*9+3*12+…+n(3n+3)=n(n+1)(n+2)
用数学归纳法证明 6+2*9+3*12+…+n(3n+3)=n(n+1)(n+2)
1、当n=1时,左边 1*(3*1+3)=6=1*(1+1)(1+2)=右边
2、假设当n=k时,等式成立.
所以当n=k+1时,左边=6+2*9+3*12+…+k(3k+3)+(k+1)[3(k+1)+3]
=6+2*9+3*12+…+k(3k+3)+(k+1)(3k+6)
=k(k+1)(k+2)+(k+1)(3k+6)
=(k+1)(k^2+5k+6)
=(k+1)(k+2)(k+3)
右边=(k+1)(k+2)(k+3)
所以当n=k+1时,等式也成立
所以得证
当n=1时,1(1+1)(1+3)=2×3=6,显然成立。
当n≥2时,
假设n=k 时,等式成立,
那么,当n=k+1时,
6+2×9+3×12+…+k×(3k+3)+(k+1)×[3(k+1)+3]
=k×(k+1)×(k+2) + (k+1)×[3(k+1)+3]
=(k+1)×[k×(k+2) + 3(k+1)+3]
=(k+1)×(...
全部展开
当n=1时,1(1+1)(1+3)=2×3=6,显然成立。
当n≥2时,
假设n=k 时,等式成立,
那么,当n=k+1时,
6+2×9+3×12+…+k×(3k+3)+(k+1)×[3(k+1)+3]
=k×(k+1)×(k+2) + (k+1)×[3(k+1)+3]
=(k+1)×[k×(k+2) + 3(k+1)+3]
=(k+1)×( k² + 2k + 3k +3 + 3)
=(k+1)×( k² + 5k + 6)
=(k+1)×(k+2)×(k+3)
=(k+1)×[(k+1)+1]×[(k+1)+2]
所以,当n=k+1时,等式成立。
所以 对于 任意的 n ∈ 正整数Z+,等式都成立。
得证。
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(1)、当n=1 左边=1×6=6 右边=1×2×3=6 左边等于右边
故当n=1时等式成立
(2)、设当n=k时等式成立,即6+2×9+3×12+…+k(3k+3)=k(k+1)(k+2)
那么当n=k+1时
6+2×9+3×12+…+k(3k+3)+(k+1)(3k+6)=k(k+1)(k+2)+(k+1)(3k+6)
=k(k+1)(k+2)...
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(1)、当n=1 左边=1×6=6 右边=1×2×3=6 左边等于右边
故当n=1时等式成立
(2)、设当n=k时等式成立,即6+2×9+3×12+…+k(3k+3)=k(k+1)(k+2)
那么当n=k+1时
6+2×9+3×12+…+k(3k+3)+(k+1)(3k+6)=k(k+1)(k+2)+(k+1)(3k+6)
=k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)
故当n=k+1时等式也成立。
(3)、综上所述,对于一切n属于N* 等式均成立
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1).当n=1时,
左边=6,右边=6
左边=右边
2)假设当n=k时,有 6+2*9+3*12+…+k(3k+3)=k(k+1)(k+2)
则当n=k+1时,有:
左边=6+2*9+3*12+…+k(3k+3)+(k+1)[3(K+1)+3]
=k(k+1)(k+2)+(k+1)[3(K+1)+3]
=k(k+1)(k+2)+3(k+1)...
全部展开
1).当n=1时,
左边=6,右边=6
左边=右边
2)假设当n=k时,有 6+2*9+3*12+…+k(3k+3)=k(k+1)(k+2)
则当n=k+1时,有:
左边=6+2*9+3*12+…+k(3k+3)+(k+1)[3(K+1)+3]
=k(k+1)(k+2)+(k+1)[3(K+1)+3]
=k(k+1)(k+2)+3(k+1)(K+2)]
=(k+1)(k+2)(k+3)=右边
综上可知,不论n取何正整数,命题均成立,证毕
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数学归纳法的一般思路
1 设原式成立
2 设k=n,把k带入原式,则式子6+2*9+3*12+…+k(3k+3)=k(k+1)(k+2)
成立
3 设k+1=n带入原式
6+2*9+3*12+…+(k+1)(3(k+1)+3)=(k+1)(k+1+1)(k+2+1)
将等式右边展开,得6+2*9+3*12+…+(k+1)(3(k+1)+...
全部展开
数学归纳法的一般思路
1 设原式成立
2 设k=n,把k带入原式,则式子6+2*9+3*12+…+k(3k+3)=k(k+1)(k+2)
成立
3 设k+1=n带入原式
6+2*9+3*12+…+(k+1)(3(k+1)+3)=(k+1)(k+1+1)(k+2+1)
将等式右边展开,得6+2*9+3*12+…+(k+1)(3(k+1)+3)=(k+1)(3(k+1)+3)+k(k+1)(k+2)
左右消掉得6+2*9+3*12+…+k(3k+3)=k(k+1)(k+2),等式成立
4 说明原式成立
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