用数学归纳法证明,1+3+9+...+3^(N-)1=3^N-1/2

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 12:16:07
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用数学归纳法证明,1+3+9+...+3^(N-)1=3^N-1/2
用数学归纳法证明,1+3+9+...+3^(N-)1=3^N-1/2

用数学归纳法证明,1+3+9+...+3^(N-)1=3^N-1/2
①当N=1时,左边=1,右边=(3^1-1)/2=1.左边=右边
②设当N=k时,等式成立,则1+..+3^(k-1)=(3^k-1)/2
将等式两边同时加上3^k,左边=1+...+3^k,右边=(3^(k+1)-1)/2
∴N=k+1时等式成立,等式得证

证：
1.当n=1时，左=3^0=1，右=(3^1-1)/2=(3-1)/2=1，左=右，等式成立。
2.假设当n=k(k∈N，且k≥1)时，等式成立，即
1+3+9+...+3^(k-1)=(3^k-1)/2
那么当n=k+1时
1+3+9+...+3^k
=1+3+9+...+3^(k-1)+3^k
=(3^k-1)/2+3^k
...

全部展开

证：
1.当n=1时，左=3^0=1，右=(3^1-1)/2=(3-1)/2=1，左=右，等式成立。
2.假设当n=k(k∈N，且k≥1)时，等式成立，即
1+3+9+...+3^(k-1)=(3^k-1)/2
那么当n=k+1时
1+3+9+...+3^k
=1+3+9+...+3^(k-1)+3^k
=(3^k-1)/2+3^k
=(3^k-1+2×3^k)/2
=(3×3^k-1)/2
=[3^(k+1)-1]/2
等式同样成立。
据1.2可知1+3+9+…+3^(n-1)=1/2(3^n-1)

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