急!一道蛮难的数学几何题.高手帮忙!梯形ABCD中,DC‖AB,AB=18,BC=6,CD=10,DA=10.能否过AB上一点作直线,同时平分梯形的周长和面积?如果能作,这样的直线共有几条?如果不能作,说明理由.（图就自己画
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 02:34:53
急!一道蛮难的数学几何题.高手帮忙!梯形ABCD中,DC‖AB,AB=18,BC=6,CD=10,DA=10.能否过AB上一点作直线,同时平分梯形的周长和面积?如果能作,这样的直线共有几条?如果不能作,说明理由.（图就自己画
急!一道蛮难的数学几何题.高手帮忙!
梯形ABCD中,DC‖AB,AB=18,BC=6,CD=10,DA=10.能否过AB上一点作直线,同时平分梯形的周长和面积?如果能作,这样的直线共有几条?如果不能作,说明理由.
（图就自己画咯,DC是梯形的上底,AB是梯形的下底.）
急!一道蛮难的数学几何题.高手帮忙!梯形ABCD中,DC‖AB,AB=18,BC=6,CD=10,DA=10.能否过AB上一点作直线,同时平分梯形的周长和面积?如果能作,这样的直线共有几条?如果不能作,说明理由.（图就自己画
能做出满足条件的直线.这样的直线有且只有一条.
由题意,不难证明梯形ABCD是直角梯形,其中BC垂直AB,
因此,梯形周长=18+6+10+10=44,梯形面积=（18+10）*6/2=84
因此,梯形周长的一半=44/2=22,梯形面积的一半=84/2=42
（1）如图1,线段BE平分梯形周长,则AE=22-18=4,做EG垂直AB,则不难算出EG=0.6*AE=2.4,则三角形EAB的面积=AB*EG/2=18*2.4/2=21.6＜42,即BE不能平分梯形面积；因此当直线过点B时,不存在满足条件的直线；
（2）如图2,线段AF平分梯形周长,则BF=22-18=4,则三角形FAB的面积=AB*BF/2=18*4/2=36＜42,即AF不能平分梯形面积；因此当直线过点A时,不存在满足条件的直线；
（3）如图3,点E在AD上,点F在AB上,线段EF平分梯形周长,则AE+AF=22,做EG垂直AB,则不难算出EG=0.6*AE=0.6*(22-AF),则三角形EAF的面积=AF*EG/2=0.3*AF*(22-AF)=6.6AF-0.3AF^2,经过计算可得,当AF=11时,6.6AF-0.3AF^2有最大值36.3＜42,即EF不能平分梯形面积；因此当点E在AD上,点F在AB上时,不存在满足条件的直线；
（4）如图4,点E在CD上,点F在AB上,线段EF平分梯形周长,则BF+CE+BC=22,即BF+CE=22-6=16,因此梯形ECBF的面积=(BF+CE)*BC/2=16*6/2=48＞42,即EF不能平分梯形面积；因此当点E在CD上,点F在AB上时,不存在满足条件的直线；
（5）如图5,点E在AB上,点F在BC上,线段EF平分梯形周长,则BE+BF=22,此时三角形FEB的面积=BE*BF/2=(22-BF)*BF/2=11BF-0.5*BF^2,经过计算可得,当BF=11时,11BF-0.5*BF^2有最大值60.5＞42,列方程组：
BE+BF=22
BE*BF/2=42
解得：
BF=11+√37≈17.1（大于BC,舍去）或BF=11-√37≈4.9（小于BC,保留）
因此BE=22-BF=22-(11-√37)=11+√37≈17.1＜AB
因此当点E在AB上,点F在BC上时,存在能满足条件的直线,且直线只有一条,此时BE=11+√37,BF=11-√37；
证毕,得出结论：……
设该点为E，直线EG交AB于E，交CD于G，AE=X
X+10+X=（10-X0+（18-X）+6
X=6
则四边形DGEA周长为6+6+10+10=32，面积为6*10=60
梯形GCBE的周长为4+6+12+10=32，面积为（12+4）*10÷2=80
60≠80
所以不存在
不能够，你也知道，这个梯形是直角梯形，高为BC,面积84，周长44
如果直线过点A,6x/2=42,x=14,不可能，同样，不可能过点B,
如果直线交AB于E,交CD于F,
(AE+DF)6/2=42,
得AE+DF=14,而AE+DF+10=22
不可能