级数求和:arctan(1/2)+arctan(1/2^2)+arctan(1/2^3)+...+arctan(1/2^n)+...

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 08:00:17
级数求和:arctan(1/2)+arctan(1/2^2)+arctan(1/2^3)+...+arctan(1/2^n)+...级数求和:arctan(1/2)+arctan(1/2^2)+arc

级数求和:arctan(1/2)+arctan(1/2^2)+arctan(1/2^3)+...+arctan(1/2^n)+...
级数求和:arctan(1/2)+arctan(1/2^2)+arctan(1/2^3)+...+arctan(1/2^n)+...

级数求和:arctan(1/2)+arctan(1/2^2)+arctan(1/2^3)+...+arctan(1/2^n)+...
“数学之美”团员448755083为你解答!
先看图片,图片上的内容是将反正切函数级数进行转化成乘方函数级数的过程,但是到最后一步已经不可再进行公式化求解了(至少到目前为止我还咩有公式化的级数和结果),只能用这个非三角的级数来表示了.
最后结果等于
1 - (1/7)/3! + (1/31)/5! - (1/127)/7! + ... 
可以看到,这个级数
前2项和为1 - 1/42 = 0.976190476
前3项和为1 - 1/42 + 1/3720 = 0.97645929
前4项和为1 - 1/42 + 1/3720 - 1/640080 = 0.976457731
趋势上来看,这个级数应该是收敛的,端看你取前几项的精度问题了.
如果简便的算法,其实还可以根据等价无穷小来算,因为x趋近于0时,tanx~sinx~x
因此原级数≈lim(n→+∞)0.5+(0.5)^2+(0.5)^3+...+(0.5)^n+...=1
这与上面计算的收敛目标0.97645..相差也不是那么大,主要误差也就是前面两项吧.
图片可能要等一会儿才能显示!
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