已知△ABC的三个顶点都在椭圆x^2/20+y^2/16=1上,A为椭圆短轴端点,AB⊥AC,AH⊥BC交BC于点H,求点H的轨迹方程.

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/19 05:55:50

已知△ABC的三个顶点都在椭圆x^2/20+y^2/16=1上,A为椭圆短轴端点,AB⊥AC,AH⊥BC交BC于点H,求点H的轨迹方程.已知△ABC的三个顶点都在椭圆x^2/20+y^2/16=1上,

已知△ABC的三个顶点都在椭圆x^2/20+y^2/16=1上,A为椭圆短轴端点,AB⊥AC,AH⊥BC交BC于点H,求点H的轨迹方程.
已知△ABC的三个顶点都在椭圆x^2/20+y^2/16=1上,A为椭圆短轴端点,AB⊥AC,AH⊥BC交BC于点H,求点H的轨迹方程.

已知△ABC的三个顶点都在椭圆x^2/20+y^2/16=1上,A为椭圆短轴端点,AB⊥AC,AH⊥BC交BC于点H,求点H的轨迹方程.
设A(0,4)
AB所在直线方程：y=kx+4
AC所在直线方程：y=-x/k+4
4x^2+5y^2=80
解方程求B、C点坐标
xb=-40k/(4+5k^2)
yb=(16-20k^2)/(4+5k^2)
xc=40k/(4k^2+5)
yc=(16k^2-20)/(4k^2+5)
BC直线的斜率：Kbc=4(k^2-1)/9k
代入B或C任意一点坐标,可以确定BC直线的截距
b=(16k^2-20)/4k^2+5)-160(k^2-1)/[9(4k^2+5)]
=1/[9(4k^2+5)]*(-16k^2-20)
=-4/9
可见,BC直线过定点（设为D）D(0,-4/9)
由于AH⊥BC,即
AH⊥HD,可见对于椭圆上任意一点B,经题意做出的H是以AD为直径的圆上的点
AD=4+4/9=40/9=2r
r=20/9
圆心O(0,4-20/9）,即O(0,16/9)
H的轨迹方程：x^2+(y-16/9)^2=400/81
同理,当A为(0,-4),H点的轨迹：
x^2+(y+16/9)^2=400/81

全部展开

不妨先设A（0,4），待确定H点轨迹后，再来判定A在另外一个端点的轨迹
AB所在直线方程：y=kx+4.................1)
AC所在直线方程：y=-x/k+4...............2)
4x^2+5y^2=80...........................3)
1)、3)联立确定B点坐标为：
xb=-40k/(4+5k^2)
yb=(16-20k^2)/(4+5k^2)
2)、3)联立确定C点坐标：
xc=40k/(4k^2+5)
yc=(16k^2-20)/(4k^2+5)
由此可以确定BC所在直线的斜率：Kbc=4(k^2-1)/9k
代入B或C任意一点坐标，可以确定BC直线的截距
b=(16k^2-20)/4k^2+5)-160(k^2-1)/[9(4k^2+5)]
=1/[9(4k^2+5)]*(-16k^2-20)
=-4/9
可见，BC直线过定点（设为D）D(0,-4/9)
由于AH⊥BC，即
AH⊥HD,可见对于椭圆上任意一点B，经题意做出的H是以AD为直径的圆上的点
AD=4+4/9=40/9=2r
r=20/9
圆心O(0,4-20/9），即O(0,16/9)
H的轨迹方程：x^2+(y-16/9)^2=400/81
同理，当A为(0,-4),H点的轨迹：
x^2+(y+16/9)^2=400/81

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