三角不等式问题在锐角△ABC中,求 sinAsinB/sinC+sinBsinC/sinA+sinAsinC/sinB的最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/24 03:47:23
三角不等式问题在锐角△ABC中,求 sinAsinB/sinC+sinBsinC/sinA+sinAsinC/sinB的最小值
三角不等式问题
在锐角△ABC中,求 sinAsinB/sinC+sinBsinC/sinA+sinAsinC/sinB的最小值
三角不等式问题在锐角△ABC中,求 sinAsinB/sinC+sinBsinC/sinA+sinAsinC/sinB的最小值
原式=sinAsinB/sinC+sinBsin(A+B)/sinA+sinAsin(A+B)/sinB
=sinAsinB/sinC+sinBsinBsin(A+B)/sinAsinB+sinAsinAsin(A+B)/sinBsinA (通分)
=sinAsinB/sinC+sin(A+B)(sin²B+sin²A)/sinAsinB
=sinAsinB/sinC+sin(A+B)/sinAsinB
由于sinA,sinB大于0,可运用均值不等式,即
sinAsinB/sinC+sin(A+B)/sinAsinB≥2根号{(sinAsinB/sinC)*sin(A+B)/sinAsinB}
=2
所以原式的最小值为2
可能写的不详细,你自己可以看看,当参考
过程有点复杂,就只给答案了
最小值是3/2×根号3
原式=sinAsinB/sinC+sinBsin(A+B)/sinA+sinAsin(A+B)/sinB
=sinAsinB/sinC+sinBsinBsin(A+B)/sinAsinB+sinAsinAsin(A+B)/sinBsinA (通分)
=sinAsinB/sinC+sin(A+B)(sin²B+sin²A)/sinAsinB
C=360-(A+B)的思路,再解