如图,长方体AC1中,AB=BC=2,AA1=1,E,F,分别是A1B1,BB1的中点,求：（1）EF,AD1所成角；（2）AC1,B1C所成角
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 17:57:43
如图,长方体AC1中,AB=BC=2,AA1=1,E,F,分别是A1B1,BB1的中点,求：（1）EF,AD1所成角；（2）AC1,B1C所成角
如图,长方体AC1中,AB=BC=2,AA1=1,E,F,分别是A1B1,BB1的中点,求：（1）EF,AD1所成角；
（2）AC1,B1C所成角
如图,长方体AC1中,AB=BC=2,AA1=1,E,F,分别是A1B1,BB1的中点,求：（1）EF,AD1所成角；（2）AC1,B1C所成角
（1）如图1.连接BC1,则BC1.在面AB1中,作BG∥=EF,则GE=BF=1/2.连接GC1,则∠GBC1即为AD1与EF所成的角.连接EC1,则∵GE⊥面A1C1,∴GE⊥EC1,△GEC1为Rt△.在Rt△EB1C1中,EC1^2=EB1^2+B1C1^2=1+4=5；
在Rt△GEC1中,GC1^2=GE^2+EC1^2=1+5=6；
在△GBC1中,BG^2=EF^2=EB1^2+B1F ^2 =1+1/4=5/4；
BC1^2=BC^2+CC1 ^2 =4+1=5；
由余弦定理,cosGBC1=（BG ^2+BC1 ^2-GC1 ^2）/2BG*BC1=1/4；（略去代入计算）
即EF、AD1所成角的余弦值为1/4.
（2）如图2,把两个长方体放在一起,则B1C∥C1K,∠AC1K即为AC1与B1C所成的角.
AK^2=AB^2+BK^2=4+4=8；
AC1^2=AA1^2+A1B1^2+AD ^2=1+4+4=9；
在△AC1K中,cosAC1K=（AC1 ^2+C1K ^2-AK ^2）/2AC1*C1K=(√5)/5.
即AC1、B1C所成角的余弦值为（√5）/5.
(1)用平移的方法EF，AD1所成角的余弦值为1/25
(2)用补形的方法AC1，B1C所成角的余弦值为√5/5能算出角的度数吗？第一个好像是1/5吧。 能算出角的度数吗？第一个好像是1/5吧。 不是特殊角，不能算出角的度数,推荐答案的等边更第不对，又不是正方体，第一先得到三角形AD1C三边为根号5，根号5，根号8，用余弦定理算出角AD1C余弦值为1/25，就是EF，AD1所成...
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(1)用平移的方法EF，AD1所成角的余弦值为1/25
(2)用补形的方法AC1，B1C所成角的余弦值为√5/5
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（1）做辅助线BC1 A1B
由题可知该长方体为正方体，又E,F,分别是A1B1,BB1的中点
则EF∥A1B且AD1∥BC1,
则EF，AD1所成角即为角A1BC1
∵A1B=A1C1=BC1
∴△A1BC1为等边
故A1BC1=60°，EF，AD1所成角=60°
2）延长BB1至N点，使BB1=B1N
连接AN，C1N
...
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（1）做辅助线BC1 A1B
由题可知该长方体为正方体，又E,F,分别是A1B1,BB1的中点
则EF∥A1B且AD1∥BC1,
则EF，AD1所成角即为角A1BC1
∵A1B=A1C1=BC1
∴△A1BC1为等边
故A1BC1=60°，EF，AD1所成角=60°
2）延长BB1至N点，使BB1=B1N
连接AN，C1N
B1C∥NC1（证明略）
故AC1与C1N所成角即为所求
AC=2根号2 CC1=2 可求得AC1=2根号3
AB=2 BN=4 可求得AN=2根号5
BN=2 BC1=2 可求得NC1=2根号2
由三边长度利用余弦定理可知所求角为直角
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