求极限lim(n→∞)n^(p-1)[1/(n+1)^p+1/(n+2)^p+...+1/(n+n)^p],追分
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/01 07:35:38
求极限lim(n→∞)n^(p-1)[1/(n+1)^p+1/(n+2)^p+...+1/(n+n)^p],追分求极限lim(n→∞)n^(p-1)[1/(n+1)^p+1/(n+2)^p+...+1
求极限lim(n→∞)n^(p-1)[1/(n+1)^p+1/(n+2)^p+...+1/(n+n)^p],追分
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推荐仅参考
转化为定积分
n^(p-1)[1/(n+1)^p+1/(n+2)^p+...+1/(n+n)^p]
=1/n*[1/(1+1/n)^p+1/(1+2n)^p+...+1/(1+k/n)^p+1/(1+1)^p]
1/n=dx，k/n=x，x积分上下限为0到1
所以积分为
∫[0,1]1/(1+x)^pdx
p≠1
=[0,1](1-p)*1/...
全部展开
转化为定积分
n^(p-1)[1/(n+1)^p+1/(n+2)^p+...+1/(n+n)^p]
=1/n*[1/(1+1/n)^p+1/(1+2n)^p+...+1/(1+k/n)^p+1/(1+1)^p]
1/n=dx，k/n=x，x积分上下限为0到1
所以积分为
∫[0,1]1/(1+x)^pdx
p≠1
=[0,1](1-p)*1/(1+x)^(p-1)
=(p-1)[1-1/2^(p-1)]
p=1
原式=∫[0,1]1/(1+x)dx=[0,1]ln|1+x|=ln2
收起
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