计算：1×4×7＋4×7×10＋7×10×13＋.＋22×25×28
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 20:44:24
计算：1×4×7＋4×7×10＋7×10×13＋.＋22×25×28
计算：1×4×7＋4×7×10＋7×10×13＋.＋22×25×28
计算：1×4×7＋4×7×10＋7×10×13＋.＋22×25×28
考察一般项：
(3n-2)[3(n+1)-2][3(n+2)-2]
=(3n-2)(3n+1)(3n+4)
=(9n²-3n-2)(3n+4)
=27n³+27n²-18n-8
1×4×7+4×7×10+...+22×25×28
=27×(1³+2³+...+8³)+27×(1²+2²+...+8²)-18×(1+2+...+8)-8×8
=27×(8×9/2)²+27×8×9×17/6 -18×8×9/2 -8×8
=34992+5508-648-64
=39788
一般的：
1×4×7+4×7×10+...+(3n-2)[3(n+1)-2][3(n+2)-2]
=27×(1³+2³+...+n³)+27×(1²+2²+...+n²)-18×(1+2+...+n)-8n
=27[n(n+1)/2]²+27n(n+1)(2n+1)/6 -18n(n+1)/2 -8n
=27n²(n+1)²/4 +9n(n+1)(2n+1)/2 -9n(n+1)-8n
=
39788
matlab中输入
i=1:3:22;
all=sum(i.*(i+3).*(i+6))
这道题可以拆解计算的
1×4×7＋4×7×10＋7×10×13＋......＋22×25×28
令n为正整数，则上式的无穷形可以表达为1×4×7＋4×7×10＋7×10×13＋......＋n(n+3)(n+6)
n(n+3)(n+6)=n³+9n²+18
原式就是等效求1³+9×1²+18+...+n³+9n...
全部展开
这道题可以拆解计算的
1×4×7＋4×7×10＋7×10×13＋......＋22×25×28
令n为正整数，则上式的无穷形可以表达为1×4×7＋4×7×10＋7×10×13＋......＋n(n+3)(n+6)
n(n+3)(n+6)=n³+9n²+18
原式就是等效求1³+9×1²+18+...+n³+9n²+18 此时n=22
我们知道立方数列的求和公式是[n(n+1)/2]²
平方数列的求和公式是n（n+1)(2n+1)/6
所以原式的值就等于：[22×（22+1）/2]²+9×[22×（22+1）×（22×2+1）]/6+18×22=39788
收起
39788。
你可以使用计算器验算一下这个结果。我不是这样算的。
一共8项相加，每一项都可以写成（3n-2）（3n+1）（3n+4）的形式，展开得到
27n的三次方+27n的平方-18n-8。
然后要用到立方累加公式，1的三次方+2的三次方+。。。+M的三次方=（1+2+。。。+M）的平方；
平方累加公式，1的平方+2的平方+。。。+M的平方=M（M+1）（...
全部展开
39788。
你可以使用计算器验算一下这个结果。我不是这样算的。
一共8项相加，每一项都可以写成（3n-2）（3n+1）（3n+4）的形式，展开得到
27n的三次方+27n的平方-18n-8。
然后要用到立方累加公式，1的三次方+2的三次方+。。。+M的三次方=（1+2+。。。+M）的平方；
平方累加公式，1的平方+2的平方+。。。+M的平方=M（M+1）（2M+1）/6。
1次方累加公式，1+2+。。。+M=M（M+1）/2。
0次方累加公式，1的零次方+2的零次方+。。。+M的零次方=1+1+。。。+1=M。
分别利用，得到
27（1+2+。。。+8）的平方+27*8（8+1）（2*8+1）/6-18*8*（8+1）/2-8*8，
即27*36*36+27*204-18*36-64
这里，利用计算器计算得到39788
收起