已知函数f（x）=1/2x2-alnx,a＞0（1）当a=2时,函数f（x）的极值（2）求函数f（x）在区间[1,e]上的最小值简答题模式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 15:18:42
已知函数f（x）=1/2x2-alnx,a＞0（1）当a=2时,函数f（x）的极值（2）求函数f（x）在区间[1,e]上的最小值简答题模式
已知函数f（x）=1/2x2-alnx,a＞0
（1）当a=2时,函数f（x）的极值
（2）求函数f（x）在区间[1,e]上的最小值
简答题模式
已知函数f（x）=1/2x2-alnx,a＞0（1）当a=2时,函数f（x）的极值（2）求函数f（x）在区间[1,e]上的最小值简答题模式
f'(x)=x-a/x
(1)当a=2时,f'(x)=x-2/x
令f'(x)=0,解得：x=±√2
当x＜-√2时,f'(x)＜0,∴f(x)在x=-√2取得极小值
当x＞√2时,f'(x)＜0,∴f(x)在x= √2取得极大值
(2)∵f(x)在[1,√2]上单调递增,在[√2,e]上单调递减
f(1)=1/2,f(e)=e^2/2-2＞f(1)
∴f(x)[1,e]上的最小值为f(1)=1/2
[x^(-1)]'=-x^(-2)
f'(x)=1+2/x^2-a/x=(x^2-ax+2)/x^2
定义域x>0
所以x^2>0
x^2-ax+2=(x-a/2)^2-a^2/4+2
若2-a^2/4>=0
-2√2<=a<=2√2,又a>0
即0
则f'(x)>=0
增...
全部展开
[x^(-1)]'=-x^(-2)
f'(x)=1+2/x^2-a/x=(x^2-ax+2)/x^2
定义域x>0
所以x^2>0
x^2-ax+2=(x-a/2)^2-a^2/4+2
若2-a^2/4>=0
-2√2<=a<=2√2,又a>0
即0
则f'(x)>=0
增函数
若a>2√2
x^2-ax+2=0
x=[a±√(a^2-8)]/2
则若x^2-ax+2>0,x>[a+√(a^2-8)]/2,x<[a-√(a^2-8)]/2
若x^2-ax+2<0,[a-√(a^2-8)]/2
综上
0
[a-√(a^2-8)]/2
f'(x)=1+2/x^2-3/x=(x^2-3x+2)/x^2=0，x=1，x=2
则x>2时是增函数，
1
x=1或e^2最大
f(e^2)=e^2-2/e^2-5最大
[2-3ln2,e^2-2/e^2-5]
收起
已知函数f(x)=(1/2)x²-alnx，a＞0；(1)当a=2时，函数f（x）的极值；(2)求函数f（x）在区间[1,e]上的最小值
(1)。定义域：x>0；当a=2时，f(x)=(1/2)x²-2lnx；令f'(x)=x-(2/x)=(x²-2)/x=(x+√2)(x-√2)/x=0，
得驻点x₁=-√2(舍去，因为不在定义域内)；x...
全部展开
已知函数f(x)=(1/2)x²-alnx，a＞0；(1)当a=2时，函数f（x）的极值；(2)求函数f（x）在区间[1,e]上的最小值
(1)。定义域：x>0；当a=2时，f(x)=(1/2)x²-2lnx；令f'(x)=x-(2/x)=(x²-2)/x=(x+√2)(x-√2)/x=0，
得驻点x₁=-√2(舍去，因为不在定义域内)；x₂=√2；x₂是极小点。
故极小值f(x)=f(√2)=1-2ln√2=1-ln2≈0.307；无极大值。
(2)。f(x)=(1/2)x²-alnx；f'(x)=x-a/x=(x²-a)/x；
当0
当a>e² 时，在区间[1，e]上恒有f'(x)=(x²-a)/x<0，即f(x)在此区间上单调减，故minf(x)=f(e)=(e²/2)-a.
收起