已知函数f(x)=x2-alnx(a属于R)求f(x)在【1,e】上的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/22 14:23:48
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已知函数f(x)=x2-alnx(a属于R)求f(x)在【1,e】上的最小值
已知函数f(x)=x2-alnx(a属于R)
求f(x)在【1,e】上的最小值

已知函数f(x)=x2-alnx(a属于R)求f(x)在【1,e】上的最小值
f′(x)=2x2-ax(x>0),
当x∈[1,e],2x2-a∈[2-a,2e2-a].
若a≤2,则当x∈[1,e]时,f′(x)≥0,
所以f(x)在[1,e]上是增函数,
又f(1)=1,故函数f(x)在[1,e]上的最小值为1.
若a≥2e2,则当x∈[1,e]时,f′(x)≤0,
所以f(x)在[1,e]上是减函数,
又f(e)=e2-a,所以f(x)在[1,e]上的最小值为e2-a.
若2<a<2e2,则当1≤x<a2时,f′(x)<0,此时f(x)是减函数;
当a2<x≤e时,f′(x)>0,此时f(x)是增函数.
又f(a2)=a2-a2lna2,
所以f(x)在[1,e]上的最小值为a2-a2lna2.
综上可知,当a≤2时,f(x)在[1,e]上的最小值为1;
当2<a<2e2时,f(x)在[1,e]上的最小值为a2-a2lna2;
当a≥2e2时,f(x)在[1,e]上的最小值为e2-a.
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这是我解的,不懂追问

当A为0时,f(x)求导为2,不成立。当A不为0时,为2-A/x=(2X-A)/X,又因为X》0,接下来就是找A与1和E的关系了,变成了一个二次函数问题,初中知识就可解决,不知是否满意

很简单、分类讨论

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