若 sin2x+cos x+a=0 有实根,试确定实数a的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 06:22:24
若 sin2x+cos x+a=0 有实根,试确定实数a的取值范围.
若 sin2x+cos x+a=0 有实根,试确定实数a的取值范围.
若 sin2x+cos x+a=0 有实根,试确定实数a的取值范围.
我来说句公道说话吧,楼上的专家说得虽然不错,不过如果提问者是高中生,不会用求导等高等数学方法的话,这个极值问题算起来还是比较困难的.
经过研究,我找出了高中生也能理解的做法
（不过难度还是不小的）
直接求f(x)=sin2x+cosx的最大值,并且容易看出最大值和最小值互为相反数,所以求一个就可以了.计算过程种为了使得不等式连续达到取"="的
条件必须引入参数t.这是这个算法的精华
求最大值的时候我们不妨假设sinx>=0,cosx>=0
f(x)=(2sinx+1)cosx
=(2sinx+1)(tcosx)/t
<={[(2sinx+1+tcosx)/2]^2}/t
当 2sinx+1＝tcosx 时取等号
当sinx>=0,cosx>=0时,
2sinx+tcosx<=(4+t^2)^(1/2)
当sinx/2=cosx/t时取等号,
这样就有当f(x)达到最大值时,有以下三条方程
(sinx)^2+(cosx)^2=1 (1)
2sinx+1＝tcosx (2)
sinx/2=cosx/t (3)
把(2),(3)相乘：
(2sinx+1)sinx/2=(cosx)^2
再由(1):(cosx)^2=1-(sinx)^2代入消去cosx,
可以得到sinx的方程：
4(sinx)^2+sinx-2=0,又由于前面已经规定了
sinx>=0,所以这个关于sinx的二次方程的
两个解中只能取其中一个：
sinx=(-1+(33)^(1/2))/8,
cosx=(30+2(33)^(1/2))^(1/2)/8,
代入f(x)=sin2x+cosx
=(1656+264*(33)^(1/2))^(1/2)/32
上面的代入化简计算就省略了.
所以a的范围是
-(1656+264*(33)^(1/2))^(1/2)/32到
(1656+264*(33)^(1/2))^(1/2)/32之间
真是个复杂无比的计算啊!
太简单了，谁爱做谁做
f