已知a^2+b^2+c^2=1,a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc=0,求a+b+c的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 22:48:30
已知a^2+b^2+c^2=1,a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc=0,求a+b+c的值.
已知a^2+b^2+c^2=1,a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc=0,求a+b+c的值.
已知a^2+b^2+c^2=1,a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc=0,求a+b+c的值.
a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc=0
(a+b+c)(ab+ac+bc)=0
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=1+2(ab+ac+bc)
所以 a+b+c=0或1或-1
答案是0和正负1.
设x=a+b+c。注意到
(a+b)(b+c)(c+a)=2abc-3abc=-abc，(1)
其中的3abc是用题设条件代入的。
(1)即(x-a)(x-b)(x-c)=-abc. 展开括号得到
x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x=0. (2)
根据x的定义，前两项抵消掉. (2)即(ab+bc+ca)x=0....
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答案是0和正负1.
设x=a+b+c。注意到
(a+b)(b+c)(c+a)=2abc-3abc=-abc，(1)
其中的3abc是用题设条件代入的。
(1)即(x-a)(x-b)(x-c)=-abc. 展开括号得到
x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x=0. (2)
根据x的定义，前两项抵消掉. (2)即(ab+bc+ca)x=0. (3)
所以，要么x=0，要么ab+bc+ca=0.
在后一种情况下，x^2=(a+b+c)^2=1+2*0=1，所以x=1或-1.
综上，x只有三种可能值：-1，0，1。
下面的例子表明这三个值都有可能取到：
x=1: a=b=0, c=1.
x=-1: a=b=0, c=-1.
x=0: a=0, b=1/sqrt(2), c=-1/sqrt{2}.
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