三角形ABC 中,AB=AC,以AB为直径的圆O交BC与点P,PD垂直AC于点D,求证:1、PD是圆O的切线；2、若角CAB=120度,AB=2,求BC的长.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/23 06:16:45
三角形ABC 中,AB=AC,以AB为直径的圆O交BC与点P,PD垂直AC于点D,求证:1、PD是圆O的切线；2、若角CAB=120度,AB=2,求BC的长.
三角形ABC 中,AB=AC,以AB为直径的圆O交BC与点P,PD垂直AC于点D,求证:1、PD是圆O的切线；2、若角CAB=120度,AB=2,求BC的长.
三角形ABC 中,AB=AC,以AB为直径的圆O交BC与点P,PD垂直AC于点D,求证:1、PD是圆O的切线；2、若角CAB=120度,AB=2,求BC的长.
1）取AB的中点O,连接OP,AP.
∵AB是圆的直径.
∴∠APB=90°
∴AP是等腰三角形ABC的高,AP平分∠BAC.
∴∠BAP=∠CAP
∵∠BAP=∠OPA,∠CAP+∠APD=90°
∴∠OPA+∠APD=90°
∴OP⊥PD,PD是圆O的切线.
2）∵∠CAB=120°
∴∠B=30°
∴AP=1/2AB=1
∴BP²=AB²-AP²=4-1=3
∴BP=√3
∴BC=2BP=2√3
1、因为O为园O的圆心，则OP=OA=OB=1/2AB=1/2AC
所以OP为三角形ABC的中位线
所以OP∥AC
又因为PD垂直于AC于D 所以∠OPD=∠PDA=90°
所以PD是圆O的切线
2、CAB=120度 所以ABC=30度 所以BC=2*(2*SIN60°）=2√3
1, 已知如题设。
求证：PD是圆O的切线。
证： 连接AP,OP,PD.
∵∠APB=90°(半圆周角)， ∴AP⊥BC,
∵AB=AC, ∴∠BAP=∠CAP(=∠DAP)
又，∠PAO=∠APO=∠DAP.
∵ ∠DPA+∠DAP=90°. (同一直角三角形的两个锐角之和)
∴∠DPA+∠APO=90°♂
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1, 已知如题设。
求证：PD是圆O的切线。
证： 连接AP,OP,PD.
∵∠APB=90°(半圆周角)， ∴AP⊥BC,
∵AB=AC, ∴∠BAP=∠CAP(=∠DAP)
又，∠PAO=∠APO=∠DAP.
∵ ∠DPA+∠DAP=90°. (同一直角三角形的两个锐角之和)
∴∠DPA+∠APO=90°♂
∴DP⊥OP .
∵OP是圆O的半径，∴PD是圆O的切线。
证毕。
2. 在Rt△APB中，BD=ABsin(∠CAB/2)=AB*sin60°.
BD=2*√3/2=√3.
∴ BC=2BD=2√3.
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