如何理解仿射几何与射影几何的关系

如何理解仿射几何与射影几何的关系
如何理解仿射几何与射影几何的关系

如何理解仿射几何与射影几何的关系
经常说,仿射几何是空间的点的几何,射影几何是给每一个直线添加无穷远点使得任何两条在同一平面上的直线都相交.仿射几何似乎比较直观,射影几何不太直观.很可惜,现代数学思想离不开射影几何的思想,不理解射影几何就不能理解现代数学的精神.仿射几何中的好几个定理在射影几何中特别容易证明,为什么采用透视法就变得简单了呢,道理何在?设V是一个向量空间,V的仿射几何A(V)是V的所有陪集组成的集合,其仿射维数是V的维数.这里的陪集,即V的任意子空间的陪集.因此直观上说,V的仿射几何是由空间中所有的点、直线、面等等组成的：零维陪集称为点,一维陪集称为直线,二维陪集称为平面,维数比仿射维数少一的陪集称为超平面.因此,仿射几何中,直线不一定通过原点,平面也不一定通过原点,等等,特别的任何两个陪集可能不相交.与此相对应,V的射影几何P(V)是V的所有子空间组成的集合,其射影维数是V的维数减一.因此,射影点是仿射直线,射影直线是仿射平面,射影超平面是仿射维数比V少一的仿射超平面.因此,射影几何中,任意直线都相交在原点,任意平面都相交在原点,等等,特别的任何两个射影元素都在原点处相交.射影几何的这个定义跟习以为常的传统定义是等价的,由此把一个球面上的每对对径点粘起来就是一个射影平面,一个射影直线相当于把一个圆的每对对径点粘起来仍然是一个圆.等价性稍后进一步再解释.因此粗看起来,P(V)是A(V)的子集,但前者的射影维数比A(V)的仿射维数少一,不能在同一抽象空间里分别建立起来.设W是V的维数少一的子空间,因此W是P(V)中的射影超平面,也是A(V)中的通过原点的仿射超平面,则P(V)的射影维数和A(W)的仿射维数相等.特别的,W的任何一个与W平行而不重合的陪集为c+W,于是c+W是A(V)中不通过原点的超平面.现在,P(V)的射影维数和A(c+W)的仿射维数相等,A(W)和A(c+W)是A(V)的互相平行而不重合的仿射子几何.原来,存在仿射几何A(c+W)到射影几何P(V)的一个“自然”的嵌入!即存在一个单射,这个嵌入,就是由所谓透视法给出的.A(c+W)的像是P(V)中不含在W的任意射影元素,这个现象,有时也称为：P(V)与P(W)的差有一个“自然”的仿射结构,它同构于仿射几何A(c+W)从而也同构于仿射几何A(W)!这个仿射几何中,消失了的P(W)的射影点,就是所谓的“无穷远点”.因此仿射几何A(W)加上无穷远点集合P(W)就是一个射影集合P(V),前者的仿射维数等于后者的射影维数,因此在一个抽象空间里既配备了仿射结构又配备了射影结构.这个事实,同时解释了射影几何定义的等价性.在这个事实上,射影几何比仿射几何只多一点点,但却使得仿射定理在射影几何中变得简单了.这是因为仅仅考虑通过原点的子空间要比考虑可能甚至互不相交的陪集便利得多.关于P(V)与P(W)的差有一个“自然”的仿射结构,如果你能在三维空间情形建立这个现象,那么你就算是理解了仿射几何与射影几何.最后,这个对应,作为透视法的抽象,不仅仅是几何间的对应,也可以建立起线性映射间的对应,因此,这个对应是一个函子,是仿射几何范畴到射影几何范畴间的态射,你在仿射几何里考虑的事,可以对应到射影几何的情形；在射影几何里考虑的事,也可以对应到仿射几何的情形.这就是透视法的威力所在.把射影几何换成仿射几何,就可以发现任意一个仿射几何,都能作为不通过原点的超平面嵌入到一个所谓的泛空间：A(c+W)嵌入到A(V).这个嵌入,也可以建立起线性映射间的对应,于是也是一个函子,是仿射几何范畴到自身的态射.这个函子,就是射影几何观念建立前,透视法的抽象表示.之所以要引入泛空间,因为它还给了所谓的重心坐标一个“自然”的解释.我要学代数拓扑,不学射影几何可以不?恐怕不好,因为一方面射影几何的基本群也比较典型,射影平面的基本群就是Z2；另一方面紧致曲面的分类,就是以球面、环面和射影平面为基本构建.更何况如果将来要学代数几何,射影几何就更必须学.重心坐标的“自然”解释?因篇幅所限,建议读者去看贝尔热的《几何》第一卷.虽然这书是面向师范类,但仅第一节就很“自然”且抽象得令人发指,足以令井底之蛤蟆们认识到法国数学和我国数学的真正差距比起地球到天狼星的距离还要遥远、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、