用定义证明极限其中算出一个数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 10:27:56
用定义证明极限其中算出一个数
用定义证明极限其中算出一个数
用定义证明极限其中算出一个数
极限定义用的是ε-N语言（数列的）或者ε-δ语言（函数的）.这个证明其实不难,对于所有的证明极限题,假如是数列的,就是任给ε>0,你去找一个N,使得n>N的时候an和极限A之间差别小于ε.ε是给定的,所以N一般来说是关于ε的一个式子,举个例子,比如证明1/n趋近于0的时候任给ε>0,你现在就把|1/n-0|N时候这个式子成立.这个式子可以化简为n>1/ε,你就能看出来只要n>1/ε上面不等式就成立,但是N不能取1/ε,必须是整数,想想N如果取一个比1/ε大的数,那n>N上面不等式就更成立了,于是你就故意把N取得大一点,N=[1/ε]+1,去个整再加1,就比1/ε来得大了,这样n>N时候能保证|1/n-0|
中括号包着一个数是什么意思，例如[?分之一]，又不是区间，就是大一高数表示不大于中括号内的数的最大整数。例如[1.1]=1 取整的运算。[x]
就是微积分语言的问题。微积分语言核心就是用静态过程刻画动态过程，极限你可以理解成x的一种“本领”，给一个“误差”，然后只要x充分的发挥了这个“本领”，f(x)和极限之间的“误差”就可以充分小。这个说了太抽象，我就说一下第一个当例子吧。
x趋近于+∞时f(x)极限是A，这个先给一个“误差”，把它叫ε，这是一个要求，要求f(x)和A的距离要比这个小；因为x极限趋势是趋近+∞的，所以x的“本领”...
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就是微积分语言的问题。微积分语言核心就是用静态过程刻画动态过程，极限你可以理解成x的一种“本领”，给一个“误差”，然后只要x充分的发挥了这个“本领”，f(x)和极限之间的“误差”就可以充分小。这个说了太抽象，我就说一下第一个当例子吧。
x趋近于+∞时f(x)极限是A，这个先给一个“误差”，把它叫ε，这是一个要求，要求f(x)和A的距离要比这个小；因为x极限趋势是趋近+∞的，所以x的“本领”是可以很大，怎么样表明x充分发挥“可以很大”这个本领以后“误差”就可以充分小呢？我们就找一个衡量“本领”的标准N，这个N的特点是“充分大”，x要是比N都大就充分发挥了本领了，这时候误差就可以比ε小了。具体说法是：
①对于任意ε>0（随便给一个误差要求），存在N>0（都能找到一个x本领的评判标准），使得当x>N时（x按照这个标准充分发挥本领）恒有|f(x)-A|<ε（f(x)和极限之间的值就可以符合误差要求）。
类似地
②对于任意ε>0，存在N>0，使得当x<-N时恒有|f(x)-A|<ε。
③（注意不是无穷了，这个x的本领就不是任意大了，而是和x0任意接近，找的衡量x本领的标准就是一个δ，只要x与x0距离小于δ就算x充分发挥了本领，能做到f(x)与A距离比ε小。告诉趋近于x0+还是x0-就是一个谁减谁的问题）
对于任意ε>0，存在δ>0，使得当x-x0<δ（x从右侧趋近x0，故是x-x0）时恒有|f(x)-A|<ε。
④对于任意ε>0，存在δ>0，使得当x0-x<δ（x从左侧趋近x0，故是x0-x）时恒有|f(x)-A|<ε。
这个自己好好思考思考理解了这种题就完全没问题了。上面的这种理解方法不是我想的，是一个我们的物理老师说的，我只是润色了一下语言。他的观点我觉得很有启发性，他说微积分语言实际上还是一种类似物理实验的思想。物理学家关心的是差距足够小就可以，不是数学家的逻辑上严密；结果数学家真正需要定义“极限”这个数学概念的时候也头疼，折腾了几个世纪才给出现在的微积分语言。我们也可以感觉到分析学其实并不是很高深，它真正的思想核心还是紧密结合现实世界的。（最后这一段话太哲学了，如果楼主不感兴趣就当我没说了……我喜欢在回答问题时候瞎扯一些我的哲学理解）
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