一道广义积分证明题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 10:48:45
一道广义积分证明题
一道广义积分证明题
一道广义积分证明题
因为∫[0,+∞)g(x)dx收敛
利用Cauchy收敛原理,对任意给定的ε>0,有一正数N,当m,n>N时,有|∫[0,m]g(x)dx-∫[0,n]g(x)dx|<ε成立.
然而∫[0,m]g(x)dx-∫[0,n]g(x)dx=∫[n,m]g(x)dx
如果m>n,f(m)≤f(n)+∫[n,m]g(x)dx.
如果m
再利用柯西收敛原理可知f(x)在x趋于正无穷时收敛.
写了一些思路，楼主可以借鉴一下
先证明f(x)在[0,+∞)是连续的。
取x趋近于y的极限，利用夹逼定理可以证明对任意x（x属于[0,+∞)），f(x)的左极限等于右极限，连续性得证。
利用连续函数有界性可知，对任意x属于[0,+∞)，f(x)有界。
不等式右边的第二项有界是比较显然的，因此原命题得证有界未必收敛。证明有界很简单，关键是怎么说明有极限。回来晚了，抱歉...
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写了一些思路，楼主可以借鉴一下
先证明f(x)在[0,+∞)是连续的。
取x趋近于y的极限，利用夹逼定理可以证明对任意x（x属于[0,+∞)），f(x)的左极限等于右极限，连续性得证。
利用连续函数有界性可知，对任意x属于[0,+∞)，f(x)有界。
不等式右边的第二项有界是比较显然的，因此原命题得证
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f(x)>0
f(y)<=f(x)+∫[x,y]g(t)dt
存在0
=f(x0)+∫[y,+∞)g(t)dt -∫[x0,+∞)g(t)dt
lim(x0->0) ∫[x0,+∞)g(t)dt=∫[0,+∞)g(x)dx
∫[y,+∞)g(t)dt=∫[0,+∞)g(t)d...
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f(x)>0
f(y)<=f(x)+∫[x,y]g(t)dt
存在0
=f(x0)+∫[y,+∞)g(t)dt -∫[x0,+∞)g(t)dt
lim(x0->0) ∫[x0,+∞)g(t)dt=∫[0,+∞)g(x)dx
∫[y,+∞)g(t)dt=∫[0,+∞)g(t)dt-∫[0,y]g(t)dt
g(t)>0 y>0 ∫[0,y]g(t)dt>0
∫[y,+∞)g(t)dt<∫[0,+∞)g(t)dt
f(y)<=f(x0)+∫[y,+∞)g(t)dt-∫[x0,+∞)g(t)dt
f(y)>0
因此lim(x->+∞)f(x)存在
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