关于椭圆焦三角形的总结
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 01:50:15
关于椭圆焦三角形的总结
关于椭圆焦三角形的总结
关于椭圆焦三角形的总结
椭圆焦点三角形面积公式推导：s=b^2*tg(θ/2) .
【证明】
对于焦点△F1PF2,设∠F1PF2=θ,PF1=m,PF2=n
则m+n=2a
在△F1PF2中,由余弦定理:
(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ
即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)
所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2
所以mn=2b^2/(1+cosθ)
S=(mnsinθ)/2.(正弦定理的三角形面积公式)
=b^2*sinθ/(1+cosθ)
=b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/2[cos(θ/2)]^2
=b^2*sin(θ/2)/cos(θ/2)
=b^2*tan(θ/2)
求一般椭圆的焦点三角形的最大角
【解】
设焦点F1,F2,椭圆上一点P,∠F1PF2=β,PF1=x,PF2=2a-x
cosβ=(x²+(2a-x)²-4c²)/2x(2a-x) =(x²-2ax+2b²)/(2ax-x²) = 1+2b²/(2ax-x²)
当x=a时,cosβ取最小值,∠F1PF2最大
此时,P位于短轴上,∠F1PF2=2arcsin(c/a)
【例题1】已知经过椭圆x^2/36+y^2/25=1的右焦点F2作直线交椭圆于点A,B,F1是椭圆的左焦点求三角形AF1B的周长.
【解】
经过椭圆x^2/36+y^2/25=1的右焦点F2作直线交椭圆于点A,B
=>AB过焦点F2,
a=6,b=5,
三角形AF1B的周长=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=24.
【例题2】
设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点,弦AB过椭圆的右焦点,求三角形F1AB的面积的最大值.
【解】
a²=3,b²=2
c²=3-2=1
c=1
所以F1F2=2c=2
假设A在x上方,B在下方
直线过(1,0)
设直线是x-1=m(y-0)
x=my+1
代入2x²+3y²=6
(2m²+3)y²+4my-4=0
y1+y2=-4m/(2m²+3),y1y2=-4/(2m²+3)
三角形F1AB=三角形F1F2A+F1F2B
他们底边都是F1F2=2
则面积和就是高的,
即 |y1|+|y2|
因为AB在x轴两侧,所以一正一负
所以|y1|+|y2|=|y1-y2|
(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=16m²/(2m²+3)²+16/(2m²+3)
|y1-y2|=4√[m²+(2m²+3)]/(2m²+3)
=4√3*√(m²+1)]/(2m²+3)
令√(m²+1)=p
2m²+3=2p²+1
且p>=1
则p/(2p²+1)=1/(2p+1/p)
分母是对勾函数
所以p=√(1/2)=√2/2时最小
这里p>=1,所以p=1,2p+1/p最小=3
此时p/(2p²+1)最大=1/3
所以|y1-y2|最大=4√3*1/3
所以最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3