若点P(x,y)在直线x+y=12上运动,则√(x^2+1)+√(y^2+16)的最小值?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 00:24:54
若点P(x,y)在直线x+y=12上运动,则√(x^2+1)+√(y^2+16)的最小值?
若点P(x,y)在直线x+y=12上运动,则√(x^2+1)+√(y^2+16)的最小值?
若点P(x,y)在直线x+y=12上运动,则√(x^2+1)+√(y^2+16)的最小值?
y=12-x
√(x^2+1)+√(y^2+16)
=√[(x-0)^2+(0+1)^2]+√[(x-12)^2+(0-4)^2]
√[(x-0)^2+(0+1)^2]+√[(x-12)^2+(0-4)^2]
就是x轴上一点P(x,0)到两点A(0,-1),B(12,4)的距离之和
三角形PAB中,两边之和大于第三边
所以PA+PB>AB
当APB在一直线且P在AB之间时,PAB退化为线段
此时PA+PB=AB,即PA+PB有最小值AB
因为AB在x轴两侧
所以P就是直线AB和x轴交点
所以最小值存在,就是AB距离
=√[(0-12)^2+(-1-4)^2]=13
所以最小值=13
x=12-y 带入原式得：
z=√(y^2-24y+145)+√(y^2+16)
对z求导得：
z'=(y-12)/√(y^2-24y+145)+y/√y^2+16
令z'=0
化简得方程：
15y^2-24*16y+144*16=0 （分母为大于零根式，不用考虑分母为零）
解出两组（x1,y1）（x2,y2）
带入原式去较小值就是答...
全部展开
x=12-y 带入原式得：
z=√(y^2-24y+145)+√(y^2+16)
对z求导得：
z'=(y-12)/√(y^2-24y+145)+y/√y^2+16
令z'=0
化简得方程：
15y^2-24*16y+144*16=0 （分母为大于零根式，不用考虑分母为零）
解出两组（x1,y1）（x2,y2）
带入原式去较小值就是答案，
因为z是连续可导函数，所以最小值处函数z导数肯定为零
答案我就不给你了，
收起
佩服
此题为数形结合题
√(x^2+1)+√(y^2+16)
是点A(x,-1),B（-y,4)距离原点的长的和
为什么要选-1，4呢？这是使A,B在x轴不同侧，使AB与x轴有交点
为什么要x，-y呢？这是为了让AB为确定值
AB=√((x+y)^2+5^2)=13
√(x^2+1)+√(y^2+16)
=AO+B0>=AB=13
等号成立...
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此题为数形结合题
√(x^2+1)+√(y^2+16)
是点A(x,-1),B（-y,4)距离原点的长的和
为什么要选-1，4呢？这是使A,B在x轴不同侧，使AB与x轴有交点
为什么要x，-y呢？这是为了让AB为确定值
AB=√((x+y)^2+5^2)=13
√(x^2+1)+√(y^2+16)
=AO+B0>=AB=13
等号成立当
AB过O
=>
X=-4
Y=16
收起