如何利用柯西—施瓦兹不等式证明下面的题?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 15:55:08
如何利用柯西—施瓦兹不等式证明下面的题?
如何利用柯西—施瓦兹不等式证明下面的题?
如何利用柯西—施瓦兹不等式证明下面的题?
“推荐答案”里的柯西不等式是错的.应该是[∫f(x)g(x)dx]²≦[∫f²(x)dx][∫g²(x)dx]
现在f(x)≥0,所以
f(x)cos(kx) = [√f(x)]*[√f(x)*cos(kx)]
f(x)sin(kx) = [√f(x)]*[√f(x)*sin(kx)]
对这个分拆用柯西不等式,得到
[∫f(x)cos(kx)dx]²+[∫f(x)sin(kx)dx]²
≦ [∫f(x)dx][∫f(x)cos²(kx)dx]+[∫f(x)dx][∫f(x)sin²(kx)dx]
= [∫f(x)dx][∫f(x)dx]
=1
f>=0,
Cauchy-Schwarz:[∫f(x)cos(kx)dx]²<=∫f(x)cos(kx)cos(kx)dx*∫f(x)dx=∫f(x)cos(kx)cos(kx)dx,
[∫f(x)sin(kx)dx]²<=∫f(x)sin(kx)sin(kx)dx*∫f(x)dx=∫f(x)sin(kx)sin(kx)dx,
所以，[∫f(x)cos(kx)dx]²+[∫f(x)sin(kx)dx]²<=∫f(x)cos(kx)cos(kx)dx+∫f(x)sin(kx)sin(kx)dx=∫f(x)dx=1
根据柯西—施瓦兹不等式[∫f(x)g(x)dx]²≦[∫f(x)dx]²[∫g(x)dx]²；
则[∫f(x)cos(kx)dx]²+[∫f(x)sin(kx)dx]²
≦ [∫f(x)dx]²[∫cos(kx)dx]²+[∫f(x)dx]²[∫sin(kx)dx]²
= [∫f(x)dx]²[sin²kx+cos²kx]
=1
得证。