已知定义在R上的函数f(x)满足:(1)f(-x)+f(2a+x)=0,(2)f(x)在[a,+∞)上单调递增,若x1+x2＜2a,x1x2+a^2＜ax1+ax2,求证:f(x1)+f(x2)＜0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/21 20:27:12
已知定义在R上的函数f(x)满足:(1)f(-x)+f(2a+x)=0,(2)f(x)在[a,+∞)上单调递增,若x1+x2＜2a,x1x2+a^2＜ax1+ax2,求证:f(x1)+f(x2)＜0
已知定义在R上的函数f(x)满足:(1)f(-x)+f(2a+x)=0,(2)f(x)在[a,+∞)上单调递增,若x1+x2＜2a,x1x2+a^2＜ax1+ax2,求证:f(x1)+f(x2)＜0
已知定义在R上的函数f(x)满足:(1)f(-x)+f(2a+x)=0,(2)f(x)在[a,+∞)上单调递增,若x1+x2＜2a,x1x2+a^2＜ax1+ax2,求证:f(x1)+f(x2)＜0
不妨设x1 < x2
则由x1+x2 < 2a得x1 < a ,x2 < 2a - x1
由x1x2 + a^2 < ax1 + ax2得 x2(x1-a) < a(x1-a)所以x2 > a
因为f(x) 在[a ,+∞)上递增,所以f(x2) < f(2a - x1)
所以f(x1) + f(x2) < f(x1) + f(2a-x1) = 0
（1）中：令x=-x；则有f(x)+f(2a-x)=0, 也就是f(x2)+f(2a-x2)=0; f(x2)=-f(2a-x2)
要证f(x1)+f(x2)＜0 也就是f(x2)<-f(x1); 将f(x2)=-f(2a-x2)带入
证明 f(2a-x2)>f(x1)即可 x1+x2＜2a 当x1>a 时候 2a-x2>x1; 由单掉递增可以得出答案
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（1）中：令x=-x；则有f(x)+f(2a-x)=0, 也就是f(x2)+f(2a-x2)=0; f(x2)=-f(2a-x2)
要证f(x1)+f(x2)＜0 也就是f(x2)<-f(x1); 将f(x2)=-f(2a-x2)带入
证明 f(2a-x2)>f(x1)即可 x1+x2＜2a 当x1>a 时候 2a-x2>x1; 由单掉递增可以得出答案
至于证明x1>a 利用条件 x1x2+a^2＜ax1+ax2 这个可以用反证法 由于篇幅较长 lz自己思考一下
收起
由题意，f(-x)+f(2a+x)=0，经观察得 {-x+(2a+x)}/2=a,所以f(a)=0，即点（a,0）为中心对称点，又由
（2）可知f(x)在定义域R上单调递增，又因为X1+X2<2a，即（X1+X2)/2
由x1x2+a^2＜ax1+ax2可得（x1-a)(x2-a)＜0,得到x1>a且x2＜a或者x1＜a且x2>a。
当X1>a且x2＜a时，由x2＜2a-x1.由于函数属单调递增，则f(x1)+f(x2)＜f(x1)+f(2a-x1)
令x1=-x,得到，f(x1)+f(x2)＜f(x1)+f(2a-x1)=f(-x)+f(2a+x)=0
当x1＜a且x2>a时，同理，证明f(x1)+f(x2)＜0