已知抛物线x^2=4y及定点P（0,8）,A、B是抛物线上的两点,且向量AP=aPB（a＞0）,过A、B两点分别做抛物线的切线,设其交点为M,（1）证明点M的纵坐标为定值（2）试问y轴上是否存在定点Q,使得无论AB
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 00:42:10
已知抛物线x^2=4y及定点P（0,8）,A、B是抛物线上的两点,且向量AP=aPB（a＞0）,过A、B两点分别做抛物线的切线,设其交点为M,（1）证明点M的纵坐标为定值（2）试问y轴上是否存在定点Q,使得无论AB
已知抛物线x^2=4y及定点P（0,8）,A、B是抛物线上的两点,且向量AP=aPB（a＞0）,
过A、B两点分别做抛物线的切线,设其交点为M,（1）证明点M的纵坐标为定值（2）试问y轴上是否存在定点Q,使得无论AB怎么运动,都有∠AQP=∠BQP,证明你的结论
已知抛物线x^2=4y及定点P（0,8）,A、B是抛物线上的两点,且向量AP=aPB（a＞0）,过A、B两点分别做抛物线的切线,设其交点为M,（1）证明点M的纵坐标为定值（2）试问y轴上是否存在定点Q,使得无论AB
证明：
1、
设A(2x1,x1²)、B(2x2,x2²),(这样设是为了不出现分数)
由题意的A、B、P共线,即：K(AP)=K(BP)
即(x1²-8)/2x1=(x2²-8)/2x2
x1x2²-8x1=x1²x2-8x2
x1x2²-x1²x2=8x1-8x2
x1x2(x2-x2)= -8(x2-x1)
∵x1≠x2
∴x1x2=-8
y=x²/4,
y’=x/2
∴K(AM)=x1,K(BM)=x2
∴AM：y-x1²=x1(x-2x1),即：y=x1·x-x1²,两边同时乘以x2,得：x2·y=x1x2·x - x1²x2
BM：y-x2²=x2(x-2x2),即：y=x2·x-x2²,两边同时乘以x1,得：x1·y=x1x2·x - x1x2²
两式相减,得：(x2-x1)y=x1x2² - x1²x2 = x1x2(x2-x1)
∴y=x1x2=-8,为定值.
2、
设Q(0,q)
∵∠AQP=∠BQP
∴直线AQ和BQ的倾斜角互补,即K(AQ)= - K(BQ)
K(AQ)=(x1²-q)/2x1
K(BQ)=(x2²-q)/2x2
∴(x1²-q)/2x1=(q-x2²)/2x2
qx1-x1x2²=x1²x2-qx2
qx1+qx2=x1²x2+x1x2²
q(x1+x2)=x1x2(x1+x2)
①当x1+x2≠0时
q=x1x2=-8
②当x1+x2=0时
q为任意值
综上,q=-8
∴Q(0,-8),存在
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