若m>0,n>0,且m+n=mn,则m+4n的取值范围是

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/27 06:34:50
若m>0,n>0,且m+n=mn,则m+4n的取值范围是若m>0,n>0,且m+n=mn,则m+4n的取值范围是若m>0,n>0,且m+n=mn,则m+4n的取值范围是m+n=mn两边同除mn得1/m

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若m>0,n>0,且m+n=mn,则m+4n的取值范围是

若m>0,n>0,且m+n=mn,则m+4n的取值范围是
m+n=mn两边同除mn
得1/m+1/n=1
根据算数平均数大于等于调和平均数得
m+4n=m+2n+2n>= 3*3/(1/m+1/(2n)+1/(2n))=9/(1/m+1/n)=9
当且仅当1/m=1/(2n) m=2n,带入m+n=mn 3n=2n^2 得m=3 n=3/2
取最小值

条件是 m>1 ,n>1 吧???
移项得 mn-m-n=0 ,所以 mn-m-n+1=1 ,
即 (m-1)(n-1)=1 。
由均值定理得 m+4n=(m-1)+4(n-1)+5>=2√[4(m-1)(n-1)]+5=9 ,
当 m-1=4(n-1) 即 m=3 ,n=3/2 时取等号,
因此,范围是:[9,+无穷)。