若N是大于2的整数,求1/(n+1)+1/(n+2)+..+1/2n的最小值 若N是大于2的“正”整数,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 19:48:51
若N是大于2的整数,求1/(n+1)+1/(n+2)+..+1/2n的最小值 若N是大于2的“正”整数,
若N是大于2的整数,求1/(n+1)+1/(n+2)+..+1/2n的最小值
若N是大于2的“正”整数,
若N是大于2的整数,求1/(n+1)+1/(n+2)+..+1/2n的最小值 若N是大于2的“正”整数,
引入排列｛Dn｝
令 Dn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+..+1/2n,（n∈N 且n＞2）
则,Dn+1 = 1/(n+2)+1/(n+3)+..+1/2n+1/(2n+1)+1/(2n+2)
∴Dn+1 - Dn = 1/(2n+1)+1/(2n+2) - 1/(n+1) = 1/(2n+1) - 1/(2n+2)
所以有,Dn - Dn-1 = 1/(2n-1) - 1/2n
Dn-1 - Dn-2 = 1/(2n-3) - 1/(2n-2)
…………
D4-D3 = 1/(2*3+1) - 1/(2*3+2)
∵当n∈N 且n＞2时,1/(2n-1) - 1/2n＞0恒成立,
∴Dn＞Dn-1＞Dn-2＞……＞D4＞D3
即min｛Dn｝= D3 = 1/(3+1)+1/(3+2)+1/(3+3) = 37/60
即1/(n+1)+1/(n+2)+..+1/2n的最小值是 37/60 ,其中n∈N 且n＞2
令F(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
则F(n+1)=1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/2n+1/(2n+1)+1/(2n+2)
F(n+1)-F(n)=1/(2n+1)+1/(2n+2)-1/(n+1)=1/(2n+1)-1/(2n+2)
因为2n+1<2n+2且n>2，因此1/(2n+1)>1/(2n+2)，因此 F(n+1)-F(n)...
全部展开
令F(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
则F(n+1)=1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/2n+1/(2n+1)+1/(2n+2)
F(n+1)-F(n)=1/(2n+1)+1/(2n+2)-1/(n+1)=1/(2n+1)-1/(2n+2)
因为2n+1<2n+2且n>2，因此1/(2n+1)>1/(2n+2)，因此 F(n+1)-F(n)>0
即F(n+1)>F(n)
因此当n取最小时，F(n)最小。
附：最小值比较简单，最大值的结果应该是ln(2)
没留意已有回答，重复了。
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