锐角三角形ABC中角A的内角平分线交BC於L,又交外接圆於N,过L分别作AB和AC边的垂线KL和LM,垂足分别为K.M,求证:S(AKNM)=S (ABC)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/15 12:13:54
锐角三角形ABC中角A的内角平分线交BC於L,又交外接圆於N,过L分别作AB和AC边的垂线KL和LM,垂足分别为K.M,求证:S(AKNM)=S (ABC)
锐角三角形ABC中角A的内角平分线交BC於L,又交外接圆於N,过L分别作AB和AC边的垂线KL和LM,垂足分别为K.M,求证:S(AKNM)=S (ABC)
锐角三角形ABC中角A的内角平分线交BC於L,又交外接圆於N,过L分别作AB和AC边的垂线KL和LM,垂足分别为K.M,求证:S(AKNM)=S (ABC)
证明:连接NB、KM
因为:AN为平分线,∠ANB=∠ACL
所以:△ABN∽△ALC
所以:AB/AN=AL/AC,即AB*AC=AN*AL.1)
因为:AB,AC垂线LK、LM,AN为平分线
易证:AL垂直平分KM
所以:SAKNM=1/2AN*KM
因为:AB,AC垂线LK、LM
所以:A、K、L、M四点共园,AL为AKLM外接圆直径
所以:KM=2RsinA=AL*sinA
所以:SAKNM=1/2AN*AL*sinA.2)
因为:S△ABC=1/2*AB*AC*sinA.3)
由1)、2)、3):
有:SAKNM=S△ABC
作ND⊥AB,NE⊥AC交延长线于E,BC与ND和NC分别交于P、Q点 则可知ND=NE,LK=LM,NB=NC,三角形DNB全等于三角形ENC,得BD=CE 因为KL平行ND,所以S(NDK)=S(LDN), S(DPL)=S(CQL),S(BPN)=S(QNE) S (KBN)+S(MCN)=S(KDN)+S(DBN)+S(MNE)-S(NEC)=2*S(KDN)=S(LDN)+S(ELN)=[S(DPL)+S(PLN)]+[S(QLN)+S(QNE)]=[S(CQL)+S(PLN)]+[S(QLN)+S(BPN)]=[S(BPN)+S(PLN)]+[S(QLN)+S(CQL)]=S(BLN)+S(CLN)=S(BNC) 所以S(AKNM)=S(ABNC)-[S(KBN)+S(MCN)]=S(ABNC)-S(BCN)=S(ABC)