圆的面积公式是怎么得来的,

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 05:48:09
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圆的面积公式是怎么得来的,
圆的方程是：x^2+y^2=r^2
也就是：y=±√(r^2-x^2)
我们考察位于第一象限的1/4各院的情形,就有：y=√(r^2-x^2),其中：x∈[0,r],y∈[0,r].
当x变量增加一个无穷小量dx时,y(x)增加到y(x+dx),就构成了一个宽度为dx、高度为y(x)的竖直矩形.
此矩形的面积ds是：
ds=y(x)dx=[√(r^2-x^2)]dx
当dx→0时,对上式积分（定积分）,就有：
s=∫[√(r^2-x^2)]dx（积分上限是r,下限是0）
此即为1/4的圆的面积.
因此,圆的面积就是：
S=4∫[√(r^2-x^2)]dx（积分上限是r,下限是0）
简单查阅积分表,就能得出积分结果.
其结果就是：S=πr^2

将圆等分成n个扇形，每一个都近似于一个三角形
当n趋近于正无穷时，就可以真的当三角形算，设弧长为△x,则
S=n*0.5*r*△x=0.5r*x=0.5r*2πr=πr^2

将圆划分成n个以圆心为顶点，半径r为腰的等腰三角形。则每个三角形的面积为：
　　r*r*sin(2π/n)/2
　　则n个三角形的总面积为
　　A=n*r*r*sin(2πn)/2
　　当n趋近于无穷时,A趋近于圆的面积
　　limit(n->无穷大)A=π*r*r

设圆的方程为：x^2+y^2=r^2
则根据对称性
s=4∫(0~r)√(1-x^2)dx=4r^2∫(0~π/2)(cost)^2dt=4r^2•(1/2)•(π/2)=πr^2

数学书上应该有啊

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