如何用极限的思想解决球的体积推导问题!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 13:57:26
如何用极限的思想解决球的体积推导问题!
如何用极限的思想解决球的体积推导问题!
如何用极限的思想解决球的体积推导问题!
先计算半个球的体积
在图中 截取很小的一段 看做一个圆柱体
高度为△h , 底面半径为 （R^2-h^2）^0.5
圆柱体 体积 △V=π*（R^2-h^2）*△h
半球体积V= ∫π*（R^2-h^2）*dh (h取值范围 0-R)
=∫π*R^2*dh -∫π*h^2*dh
=π(R^2*R-R^2*0)-1/3π(R^3-0^3) (定积分的计算)
=πR^3-1/3*πR^3
=2/3*πR^3
球的体积 V=2/3*πR^3 *2 =4/3*πR^3
高中知识
和上面差不多吧 就用同一个图来说明了
把半球 从上到下 分成 m份 (m趋于无穷),每一份 都是个小圆柱.圆柱的高是 R/m
我们来看 第n份的 情况,
还是利用图中的三角形 第n份的地面半径 =（R^2-(n/m*R)^2）^1/2
第n份的 体积就是 V(n)=π*（R^2-(n/m*R)^2）*R/m
化简一下：
V(n)=πR^3(m^2-n^2)/m^3
半球的体积 =V(1)+V(2)+V(3)+.+V(n)+...+V(m)
即 ∑πR^3(m^2-n^2)/m^3 （n为 1-m）
∑πR^3(m^2-n^2)/m^3 =πR^3*n/m -πR^3*/m^3∑n^2
下面来看一下 ∑n^2 这个求和
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (这个公式用立方差公式可以推导出来)
知道这个后 ,我们再来看 上面的式子
那么 ∑πR^3(m^2-n^2)/m^3 = πR^3*n/m-πR^3*/m^3 *n(n+1)(2n+1)/6 （n=m）
=πR^3-πR^3*m(m+1)(2m+1)/6m^3
m趋于无穷
半球的体积= lim[πR^3-πR^3*m(m+1)(2m+1)/6m^3] (m→∞)
=πR^3-πR^3*lim [m(m+1)(2m+1)/6m^3]
(关于这个极限 lim [m(m+1)(2m+1)/6m^3] =1/3,
极限其实就等于 最高次项的系数比)
那么 半球的体积=πR^3-πR^3* 1/3=2/3πR^3
球体积=2/3πR^3 *2 =4/3 πR^3
使用微元法
将球垂直分为n份，每份为高2R/n=△h，n->无穷
然后计算体积，从上到下每一份体积可写成：
π△h*(R^2-(n/2-1)^2)
π△h*(R^2-(n/2-2)^2)
然后∑求和，要知道∑1^2+++n^2的求和公式
然后求个极限
大致是如此，细节把握以下