三角形ABC中,(aA+bB+cC)/(a+b+c)>=60度
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 18:48:44
三角形ABC中,(aA+bB+cC)/(a+b+c)>=60度
三角形ABC中,(aA+bB+cC)/(a+b+c)>=60度
三角形ABC中,(aA+bB+cC)/(a+b+c)>=60度
其实这个问题1楼做麻烦了.
证明：由于在三角形ABC中,a/sinA=b/sinB=c/sinC,所以a,b,c和A,B,C是两组同序数组.
因此由切比雪夫不等式,
aA+bB+cC≥(a+b+c)(A+B+C)/3
也就是(aA+bB+cC)/(a+b+c)≥60度.证毕.
注意：著名的切比雪夫（Chebyshev）不等式如下：
如果两组数a1≥a2≥……≥an,b1≥b2≥……≥bn,那么就有以下不等式成立：
a1*b1+a2*b2+……+an*bn≥(a1+a2+……+an)*(b1+b2+……+bn)/n
其中a1,a2,……,an中的1,2,……,n表示下脚标.
abcABC分别是什么？
证：
∵(a-b)(A-B)≥0，∴aA+bB≥aB+bA， (三角形性质：大角对大边，小角对小边）
同理：bB+cC≥bC+cB，cC+aA≥cA+aC，
三式相加：2(aA+bB+cC)≥a(B+C)+b(A+C)+c(A+B)(当且仅当a=b=c时取“=”号)。
∵B+C＝180-A，A+C＝180-B，A+B＝180-C，
代入上式，得2(aA...
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证：
∵(a-b)(A-B)≥0，∴aA+bB≥aB+bA， (三角形性质：大角对大边，小角对小边）
同理：bB+cC≥bC+cB，cC+aA≥cA+aC，
三式相加：2(aA+bB+cC)≥a(B+C)+b(A+C)+c(A+B)(当且仅当a=b=c时取“=”号)。
∵B+C＝180-A，A+C＝180-B，A+B＝180-C，
代入上式，得2(aA+bB+cC)≥a(180-A)+b(180-B)+c(180-C)，
∴2(aA+bB+cC)≥180(a+b+c)-(aA+bB+cC)，
∴3(aA+bB+cC)≥180(a+b+c)，
∴(aA+bB+cC)/(a+b+c)≥60
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