如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D（1）若P为BC的中点,PE⊥AB,PF⊥AC,求证：PE+PF=CD（2）若P为BC上一动点,PE⊥AB,PF⊥AC,试猜想PE+PF和CD的大小关系
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 11:56:52
如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D（1）若P为BC的中点,PE⊥AB,PF⊥AC,求证：PE+PF=CD（2）若P为BC上一动点,PE⊥AB,PF⊥AC,试猜想PE+PF和CD的大小关系
如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D
（1）若P为BC的中点,PE⊥AB,PF⊥AC,求证：PE+PF=CD
（2）若P为BC上一动点,PE⊥AB,PF⊥AC,试猜想PE+PF和CD的大小关系
如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D（1）若P为BC的中点,PE⊥AB,PF⊥AC,求证：PE+PF=CD（2）若P为BC上一动点,PE⊥AB,PF⊥AC,试猜想PE+PF和CD的大小关系
（1）证明
∵CD⊥AB于点D,PE⊥AB于点E,
∴CD//PE
又∵P为BC中点
∴PE/CD=BP/BC=1/2
∴PE=1/2CD
又∵△ABC为等腰三角形,AB=AC
∴∠B=∠C
又∵P为BC中点
由对称性可知：
PE=PF=1/2CD
∴PE+PF=CD
（2）PE+PF和CD的大小关系：PE+PF=CD
证明：（充分利用现有条件）
设BC的长为a,P为BC上一动点,PB=x
∴PC=a-x
又∵PE⊥AB,PF⊥AC
在Rt△PEF和Rt△PFC中,
PE/PB=Sin∠B；PF/PC=Sin∠C
PE=PB*Sin∠B=x*Sin∠B
PF=PC*Sin∠C=（a-x）*Sin∠C
∴PE+PF=x*Sin∠B+（a-x）*Sin∠C
又∠B=∠C
∴PE+PF=（x+a-x）*Sin∠B=a*Sin∠B=BC*Sin∠B
又∵CD⊥AB
在Rt△CDB中,CD/CB=Sin∠B
∴CD=BC*Sin∠B=PE+PF
1\等腰三角形，由对称性容易得到PE=PF，可以通过证明PBE,PCF全等实现. 中位线定理得到PE是CD的一半。这样就证明了。
2\通过P做CD的垂线交CD与Q. PEDQ是矩形PE=DQ. 剩下就证明PF=CQ,通过证明PCF和PCQ全等实现. 两三角形有直角,公共边,还有角FCP=ABC=QPC，实现。就全部证明了...
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1\等腰三角形，由对称性容易得到PE=PF，可以通过证明PBE,PCF全等实现. 中位线定理得到PE是CD的一半。这样就证明了。
2\通过P做CD的垂线交CD与Q. PEDQ是矩形PE=DQ. 剩下就证明PF=CQ,通过证明PCF和PCQ全等实现. 两三角形有直角,公共边,还有角FCP=ABC=QPC，实现。就全部证明了
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